QuESTÃo A.2: (1.5 pontos) Encontre a segunda derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=cos (x^2+pi);

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função f(x)=cos(x^2+pi). Aqui vamos usar a regra da cadeia (derivada de cos(u) é -sin(u)cdot u') e, em seguida, a regra do produto para chegar em f''(x).

Passo 2

Definimos u(x)=x^2+pi, logo u'(x)=2x. Usando a regra da cadeia, a derivada primeira fica:
f'(x)=ddxcos(u)= -sin(u)cdot u'(x)= -sin(x^2+pi)cdot 2x= -2xsin(x^2+pi)

Passo 3

Para obter f''(x), aplicamos a regra do produto em f'(x)=-2xsin(x^2+pi). Seja
g(x)=-2x,
h(x)=sin(x^2+pi)
Calculamos:
g'(x)=-2,
h'(x)=cos(x^2+pi)cdot 2x=2xcos(x^2+pi)
Pela regra do produto:
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=-2sin(x^2+pi)+(-2x)cdot(2xcos(x^2+pi))

Passo 4

Agora basta simplificar o resultado para obter:
f''(x)=-2sin(x^2+pi)-4x^2cos(x^2+pi)

Passo 5

Opcionalmente, usando as identidades sin(x^2+pi)=-sin(x^2) e cos(x^2+pi)=-cos(x^2), podemos reescrever:
f''(x)=2sin(x^2)+4x^2cos(x^2)

Resposta

f''(x)=-2sin(x^2+pi)-4x^2cos(x^2+pi)

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