QuESTÃo A.2: (1.5 pontos) Encontre a segunda derivada das seguintes funções:
(b) g(x)=xe^2 x.

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada da função g(x)=dfracxe^2x. O conteúdo que vamos usar é derivação de produto e exponencial, já que é mais fácil reescrever g(x) como x e^-2x.

Passo 2

Reescrevemos a função para aplicar a regra do produto:
g(x)=x e^-2x
Aqui identificamos duas partes: u(x)=x e v(x)=e^-2x.

Passo 3

Agora calculamos a primeira derivada usando a regra de produto, que diz (u v)'=u'v+uv'. Temos:
u'(x)=1, v'(x)=ddxe^-2x=-2e^-2x
Então
g'(x)=1cdot e^-2x+xcdot(-2e^-2x)=e^-2x(1-2x)

Passo 4

Para a segunda derivada, aplicamos de novo a regra do produto em g'(x)=h(x)e^-2x, com h(x)=1-2x. Calculamos:
h'(x)=-2, l(e^-2xr)'=-2e^-2x
Logo
g''(x)=h'(x)e^-2x+h(x)(-2e^-2x)=-2e^-2x+(1-2x)(-2e^-2x)

Passo 5

Fatorando -2e^-2x em comum, fica:
g''(x)=-2e^-2xl[1+(1-2x)r]=-2e^-2x(2-2x)=e^-2x(-4+4x)=4(x-1)e^-2x

Resposta

g''(x)=4(x-1)e^-2x

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