Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- as derivadas parciais de primeira ordem
e ; - as derivadas parciais de segunda ordem
e ; - as derivadas parciais mistas
e .
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
em termos de
e
:
. Não há outras condições ou restrições no enunciado.
Passo 2
Conceito útil (definição básica de derivada parcial): a derivada parcial de
em relação a
em um ponto
é a taxa de variação de
quando só
varia e
fica fixo. Formalmente, a derivada parcial em relação a
pode ser definida por
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Explicação prática: na hora da prova, em vez de calcular limite toda vez, você costuma “tratar a outra variável como constante” e derivar como uma função de uma única variável.
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição por limite (para ver por que dá o que esperamos). Substituindo
na definição:
Simplificando o numerador:
Logo
Interpretação: ao variar
,
é constante, então
é linear em
com coeficiente
; por isso a derivada em relação a
é
.
Passo 4
Agora calculemos
pelo mesmo raciocínio. Pela definição:
Simplificando o numerador:
Logo
Interpretação: ao variar
,
é constante, então a derivada em relação a
é
.
Passo 5
Definição de derivadas parciais de segunda ordem: são derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo,
As derivadas mistas são
Observação prática: primeiro calcule as derivadas de primeira ordem (já feitas) e depois derive novamente obedecendo à ordem indicada.
Passo 6
Calcule
. Temos
. Agora derivamos isso em relação a
, tratando
como constante:
porque
não depende de
.
Calcule
. Temos
. Derivando em relação a
,
porque
é constante quando derivamos em relação a
.
Passo 7
Calcule as derivadas mistas. Primeiro
: pegamos
e derivamos em relação a
:
Agora
: pegamos
e derivamos em relação a
:
Portanto as duas mistas valem
. (Breve comentário conceitual: aqui elas são iguais porque as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, mas não precisa memorizar isso para funções polinomiais simples — dá sempre certo.)
Passo 8
Dica rápida de prova/exame: para funções do tipo produto simples
, pense assim: "derivada em relação a
trata
como constante, então sai
". Depois derive de novo conforme o que pedem (se derivar
em relação a
dá
; derivar
em relação a
dá
; derivar
em relação a
dá
, etc.). Isso evita cálculos longos e é bem rápido na prova. Força — você consegue!