Questão 2. (3 pontos) Determine as derivadas parciais (primeira, segunda e mista) das funções:
f(x, y)=x y.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=xy e pede:
  • as derivadas parciais de primeira ordem \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y};
  • as derivadas parciais de segunda ordem \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} e \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2};
  • as derivadas parciais mistas \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f em termos de x e y: f(x,y)=xy. Não há outras condições ou restrições no enunciado.

Passo 2

Conceito útil (definição básica de derivada parcial): a derivada parcial de f em relação a x em um ponto (x,y) é a taxa de variação de f quando só x varia e y fica fixo. Formalmente, a derivada parcial em relação a x pode ser definida por
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Explicação prática: na hora da prova, em vez de calcular limite toda vez, você costuma “tratar a outra variável como constante” e derivar como uma função de uma única variável.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} usando a definição por limite (para ver por que dá o que esperamos). Substituindo f(x,y)=xy na definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)y-xy}{h}.
Simplificando o numerador:
(x+h)y-xy = xy+hy-xy = hy.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{hy}{h}=\lim_{h\to 0}y = y.
Interpretação: ao variar x, y é constante, então f é linear em x com coeficiente y; por isso a derivada em relação a x é y.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} pelo mesmo raciocínio. Pela definição:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{x(y+h)-xy}{h}.
Simplificando o numerador:
x(y+h)-xy = xy+xh-xy = xh.
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{xh}{h}=\lim_{h\to 0}x = x.
Interpretação: ao variar y, x é constante, então a derivada em relação a y é x.

Passo 5

Definição de derivadas parciais de segunda ordem: são derivadas das derivadas parciais de primeira ordem. Por exemplo,
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right).
As derivadas mistas são
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right).
Observação prática: primeiro calcule as derivadas de primeira ordem (já feitas) e depois derive novamente obedecendo à ordem indicada.

Passo 6

Calcule \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}. Temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y. Agora derivamos isso em relação a x, tratando y como constante:
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\bigr)=0,
porque y não depende de x.
Calcule \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}. Temos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x. Derivando em relação a y,
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\bigr)=0,
porque x é constante quando derivamos em relação a y.

Passo 7

Calcule as derivadas mistas. Primeiro \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}: pegamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x e derivamos em relação a x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\bigr)=1.
Agora \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}: pegamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y e derivamos em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\bigr)=1.
Portanto as duas mistas valem 1. (Breve comentário conceitual: aqui elas são iguais porque as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas, mas não precisa memorizar isso para funções polinomiais simples — dá sempre certo.)

Passo 8

Dica rápida de prova/exame: para funções do tipo produto simples xy, pense assim: "derivada em relação a x trata y como constante, então sai y". Depois derive de novo conforme o que pedem (se derivar y em relação a x 0; derivar x em relação a y 0; derivar x em relação a x 1, etc.). Isso evita cálculos longos e é bem rápido na prova. Força — você consegue!

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=1
\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=1

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