Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Diferenciabilidade de funções de duas variáveis.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina o conceito de diferenciabilidade para funções de duas variáveis. Informações relevantes dadas (implícitas no pedido): vou considerar uma função f de \mathbb{R}^2 para \mathbb{R} e um ponto fixo (a,b) onde queremos saber se f é diferenciável. Não há outros dados numéricos — o objetivo é explicar o que significa ser diferenciável, como reconhecer e dar exemplos/contraexemplos.

Passo 2

Ideia intuitiva (sem fórmulas ainda): dizer que f é diferenciável em (a,b) significa que, perto desse ponto, a variação de f pode ser muito bem aproximada por uma função linear em (x,y). Geometricamente, existe um plano tangente à superfície z=f(x,y) em (a,b,f(a,b)) que aproxima a superfície localmente. Na prática, isso significa que o erro entre f e esse plano tende a zero mais rápido do que a distância ao ponto.

Passo 3

Definição formal via aproximação linear. Seja (h,k) um vetor pequeno em \mathbb{R}^2. Dizemos que f é diferenciável em (a,b) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=o\big(\|(h,k)\|\big)
quando (h,k)\to(0,0). Aqui eu usei a norma euclidiana
\|(h,k)\|=\sqrt{h^2+k^2},
e a notação o(\|(h,k)\|) significa que
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}=0.
Essa é a forma precisa: a diferença entre f e a aproximação linear L é muito menor que a distância \|(h,k)\|.

Passo 4

Forma prática da transformação linear L. Quando f é diferenciável, a transformação linear L é dada pelos derivadas parciais de f em (a,b). Especificamente, se existem as derivadas parciais
f_x(a,b)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b),\qquad f_y(a,b)=\frac{\partial f}{\partial y}(a,b),
então
L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k.
Portanto a condição de diferenciabilidade pode ser escrita como
f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k+o\big(\sqrt{h^2+k^2}\big).
Uma notação comum para essa aproximação é o diferencial total
df(a,b)=f_x(a,b)\,dx+f_y(a,b)\,dy,
e o plano tangente em (a,b) tem equação
z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).

Passo 5

Consequências e observações importantes (úteis na prova):
  • Se f\) é diferenciável em \((a,b)\), então \(f\) é contínua em \((a,b)\) e as derivadas parciais \(f_x(a,b)\) e \(f_y(a,b)\) existem. Diferenciabilidade é uma condição mais forte que existência de parciais. - A existência das derivadas parciais por si só NÃO garante diferenciabilidade. Um contraexemplo clássico: defina \[f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2},& (x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
Aqui calculam-se as derivadas parciais em (0,0)\] e obtém-se \(f_x(0,0)=0 e f_y(0,0)=0. No entanto, ao seguir pela reta y=x com x\to0 temos f(x,x)=\tfrac12, então f não é contínua em (0,0) e, logo, não é diferenciável aí. Esse exemplo é útil para a prova: mostra que checar só as parciais não basta.]

Passo 6

Critério prático suficiente (muito usado na prova): se as derivadas parciais f_x e f_y existem em uma vizinhança de (a,b) e são contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b). Esse resultado é frequentemente aplicado porque é fácil verificar continuidade das parciais em muitos exemplos.

Passo 7

Exemplo concreto de verificação por conta própria (para saber fazer na prova). Tome f(x,y)=x^2+y^2 e o ponto (a,b). Calculamos:
f_x(x,y)=2x,\qquad f_y(x,y)=2y,
então em (a,b) temos f_x(a,b)=2a, f_y(a,b)=2b. A aproximação linear é
f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+2a\,h+2b\,k.
De fato,
f(a+h,b+k)-f(a,b)-2a\,h-2b\,k=h^2+k^2,
e como
\frac{h^2+k^2}{\sqrt{h^2+k^2}}=\sqrt{h^2+k^2}\to0
quando (h,k)\to(0,0), o termo restante é o(\|(h,k)\|). Logo f é diferenciável em todo ponto (confere com o critério das parciais contínuas).

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (para te dar confiança):
  • Primeiro, verifique se f é contínua no ponto; se não for, já perde a diferenciabilidade.
  • Calcule f_x(a,b) e f_y(a,b). Se as parciais forem contínuas numa vizinhança, declare diferenciabilidade (e explique por que).
  • Se não for claro pela continuidade das parciais, use a definição com o limite do resto dividido por \sqrt{h^2+k^2}. Às vezes basta estimar o resto por termos de ordem superior (como h^2+k^2) para mostrar que é o(\|(h,k)\|).
  • Lembre-se da interpretação geométrica: existir um plano tangente que aproxima localmente.

Resposta

Uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} é diferenciável em (a,b) se existe uma transformação linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que
f(a+h,b+k)-f(a,b)-L(h,k)=o\big(\sqrt{h^2+k^2}\big)\quad\text{quando }(h,k)\to(0,0).
Quando as derivadas parciais f_x(a,b) e f_y(a,b) existem, a transformação linear é
L(h,k)=f_x(a,b)\,h+f_y(a,b)\,k,
e a definição equivalente é
f(a+h,b+k)=f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+o\big(\sqrt{h^2+k^2}\big).

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