Questão 1. (2 pontos) Defina os seguintes conceitos:
Diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Diferenciabilidade de funções de duas variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu defina o conceito de diferenciabilidade para funções de duas variáveis. Informações relevantes dadas (implícitas no pedido): vou considerar uma função
de
para
e um ponto fixo
onde queremos saber se
é diferenciável. Não há outros dados numéricos — o objetivo é explicar o que significa ser diferenciável, como reconhecer e dar exemplos/contraexemplos.
Passo 2
Ideia intuitiva (sem fórmulas ainda): dizer que
é diferenciável em
significa que, perto desse ponto, a variação de
pode ser muito bem aproximada por uma função linear em
. Geometricamente, existe um plano tangente à superfície
em
que aproxima a superfície localmente. Na prática, isso significa que o erro entre
e esse plano tende a zero mais rápido do que a distância ao ponto.
Passo 3
Definição formal via aproximação linear. Seja
um vetor pequeno em
. Dizemos que
é diferenciável em
se existe uma transformação linear
tal que
quando
. Aqui eu usei a norma euclidiana
e a notação
significa que
Essa é a forma precisa: a diferença entre
e a aproximação linear
é muito menor que a distância
.
Passo 4
Forma prática da transformação linear
. Quando
é diferenciável, a transformação linear
é dada pelos derivadas parciais de
em
. Especificamente, se existem as derivadas parciais
então
Portanto a condição de diferenciabilidade pode ser escrita como
Uma notação comum para essa aproximação é o diferencial total
e o plano tangente em
tem equação
Passo 5
Consequências e observações importantes (úteis na prova):
- Se
Aqui calculam-se as derivadas parciais em
e
. No entanto, ao seguir pela reta
com
temos
, então
não é contínua em
e, logo, não é diferenciável aí. Esse exemplo é útil para a prova: mostra que checar só as parciais não basta.]
Passo 6
Critério prático suficiente (muito usado na prova): se as derivadas parciais
e
existem em uma vizinhança de
e são contínuas em
, então
é diferenciável em
. Esse resultado é frequentemente aplicado porque é fácil verificar continuidade das parciais em muitos exemplos.
Passo 7
Exemplo concreto de verificação por conta própria (para saber fazer na prova). Tome
e o ponto
. Calculamos:
então em
temos
,
. A aproximação linear é
De fato,
e como
quando
, o termo restante é
. Logo
é diferenciável em todo ponto (confere com o critério das parciais contínuas).
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (para te dar confiança):
- Primeiro, verifique se
é contínua no ponto; se não for, já perde a diferenciabilidade. - Calcule
e . Se as parciais forem contínuas numa vizinhança, declare diferenciabilidade (e explique por que). - Se não for claro pela continuidade das parciais, use a definição com o limite do resto dividido por
. Às vezes basta estimar o resto por termos de ordem superior (como ) para mostrar que é . - Lembre-se da interpretação geométrica: existir um plano tangente que aproxima localmente.
Resposta
Uma função
é diferenciável em
se existe uma transformação linear
tal que
Quando as derivadas parciais
e
existem, a transformação linear é
e a definição equivalente é