Resolva as integrais abaixo:
\int_{1}^{2} \frac{x}{8 x^{3}-12 x^{2}+6 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{x}{8 x^{3}-12 x^{2}+6 x-1}\,dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a ser integrada é \dfrac{x}{8x^{3}-12x^{2}+6x-1}.
  • Os limites de integração são x=1 e x=2.
  • Queremos encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Observar a expressão do denominador para tentar simplificar a integral. Verificar se o polinômio no denominador é uma potência de um polinômio linear:
(2x-1)^3 = 8x^3 - 3\cdot4x^2\cdot1 + 3\cdot2x\cdot1^2 -1^3 = 8x^3 -12x^2 +6x -1.
Portanto o denominador é exatamente (2x-1)^3. Assim a integral fica
\int_{1}^{2} \frac{x}{(2x-1)^3}\,dx.

Passo 3

Escolher um método: aqui uma substituição linear simples resolve bem. Se u=2x-1, então du=2\,dx, ou seja
dx=\frac{du}{2}.
Também expressar x em função de u:
x=\frac{u+1}{2}.
Mudar os limites de integração usando u=2x-1:
  • Para x=1: u=2\cdot1-1=1.
  • Para x=2: u=2\cdot2-1=3.

Passo 4

Aplicar a substituição na integral. Substituindo x=\dfrac{u+1}{2}, dx=\dfrac{du}{2} e (2x-1)=u, obtemos
\int_{1}^{2} \frac{x}{(2x-1)^3}\,dx = \int_{u=1}^{u=3} \frac{\dfrac{u+1}{2}}{u^{3}}\cdot\frac{du}{2}.
Simplificar o fator constante:
\frac{\dfrac{u+1}{2}}{u^{3}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{u+1}{4u^{3}}.
Logo a integral vira
\int_{1}^{3} \frac{u+1}{4u^{3}}\,du.

Passo 5

Separar as potências de u para usar a regra do poder para integrais. Escrever
\frac{u+1}{4u^{3}}=\frac{1}{4}\left(u^{-2}+u^{-3}\right).
Portanto
\int_{1}^{3} \frac{u+1}{4u^{3}}\,du =\frac{1}{4}\int_{1}^{3}\left(u^{-2}+u^{-3}\right)\,du.

Passo 6

Lembrar a fórmula básica de integração para potências: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicar para u^{-2} e u^{-3}:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-1}}{-1} = -u^{-1}, \qquad \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}u^{-2}.
Logo uma antiderivada para o integrando é
\frac{1}{4}\left(-u^{-1}-\frac{1}{2}u^{-2}\right).

Passo 7

Avaliar a antiderivada nos limites u=1 e u=3. Definir
F(u)=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{u}-\frac{1}{2u^{2}}\right).
Calcular F(3) e F(1):
F(3)=\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{2\cdot 9}\right) =\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{3}-\frac{1}{18}\right) =\frac{1}{4}\left(-\frac{6}{18}-\frac{1}{18}\right) =\frac{1}{4}\left(-\frac{7}{18}\right)=-\frac{7}{72}.
F(1)=\frac{1}{4}\left(-1-\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right)=-\frac{3}{8}.

Passo 8

Calcular a diferença F(3)-F(1) que é o valor da integral:
F(3)-F(1)=-\frac{7}{72}-\left(-\frac{3}{8}\right) =-\frac{7}{72}+\frac{3}{8}.
Colocar em denominador comum 72:
-\frac{7}{72}+\frac{3}{8}=-\frac{7}{72}+\frac{27}{72}=\frac{20}{72}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}.

Resposta

\dfrac{5}{18}

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