Questão 2. (4.0 pontos) Determine o domínio da única solução de
2 x sen(y) d x+(x^2-3 x+2) cos (y) d y & =0 y(0) & =pi4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
2xsin(y),dx + (x^2 - 3x + 2)cos(y),dy = 0,
com condição inicial y(0)=pi/4.
O conteúdo é separação de variáveis e existência de solução implícita.
Precisamos (i) separar em dy/dx, (ii) integrar, (iii) usar y(0)=pi/4 para achar a constante, (iv) obter a relação implícita e (v) determinar para quais x essa relação define y (i.e.\ manter o argumento de arcsin em [-1,1] e evitar pontos singulares).

Passo 2

Colocamos em forma dy/dx:
dydx = -2xsin(y)(x^2-3x+2)cos(y) = -2xx^2-3x+2,tan(y)
Isto é separável:
cos(y)sin(y),dy = -2xx^2-3x+2,dx
Integramos cada lado.

Passo 3

Esquerda:
integral cos(y)sin(y),dy = lnl|sin(y)r| + C1
Direita: fazemos frações parciais em
-2x(x-1)(x-2):
-2x(x-1)(x-2) = 2x-1-4x-2
Logo
integral -2xx^2-3x+2,dx = 2ln|x-1| -4ln|x-2| + C2
Juntando e absorvendo C=C2-C1,
ln!l|sin yr| = 2ln|x-1| -4ln|x-2| + C

Passo 4

Exponenciando,
|sin(y)| = e^C;(x-1)^2(x-2)^4
Escrevemos e^C=K>0. Aplicando y(0)=pi/4
sinl(tfracpi4r)=tfracraiz22 =K;(0-1)^2(0-2)^4 =K;116,
logo K=8raiz2. Como y permanece em (0,pi) próximo de pi/4, tiramos
sin(y)=8raiz2;(x-1)^2(x-2)^4

Passo 5

Para y ser real e único via y=arcsin(cdots), precisamos
  1. evitar x=2 (denominador nulo), e
  2. manter
-1<= 8raiz2,(x-1)^2(x-2)^4<=1
O lado esquerdo é sempre não negativo, de modo que basta
8raiz2,(x-1)^2(x-2)^4<=1
Esta desigualdade define um conjunto de xin R que, conectados, contêm o ponto x=0.
Resolvendo a igualdade limite
8raiz2;(x-1)^2(x-2)^4=1
vê-se que há duas soluções reais e positivas, sendo a menor aproximadamente
x*approx0,0388
No intervalo (-infty,x*) a quantidade dentro de arcsin varia de 0 até 1, e nunca se atinge x=2. Para x>x* o radicando ultrapassa 1 e y deixaria de ser real.

Resposta

O domínio da única solução que satisfaz y(0)=pi/4 é
boxed xin(-infty,;x* ) onde (x*) é a menor solução de 8raiz2,(x*-1)^2(x*-2)^4=1 , numericamente x*approx0,0388 éçã

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