Questão 2. (4.0 pontos) Determine o domínio da única solução de
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
2xsin(y),dx + (x^2 - 3x + 2)cos(y),dy = 0,
com condição inicial y(0)=pi/4.
O conteúdo é separação de variáveis e existência de solução implícita.
Precisamos (i) separar em dy/dx, (ii) integrar, (iii) usar y(0)=pi/4 para achar a constante, (iv) obter a relação implícita e (v) determinar para quais x essa relação define y (i.e.\ manter o argumento de arcsin em [-1,1] e evitar pontos singulares).
logo K=8raiz2. Como y permanece em (0,pi) próximo de pi/4, tiramos
sin(y)=8raiz2;(x-1)^2(x-2)^4
Passo 5
Para y ser real e único via y=arcsin(cdots), precisamos
evitar x=2 (denominador nulo), e
manter
-1<= 8raiz2,(x-1)^2(x-2)^4<=1
O lado esquerdo é sempre não negativo, de modo que basta
8raiz2,(x-1)^2(x-2)^4<=1
Esta desigualdade define um conjunto de xin R que, conectados, contêm o ponto x=0.
Resolvendo a igualdade limite
8raiz2;(x-1)^2(x-2)^4=1
vê-se que há duas soluções reais e positivas, sendo a menor aproximadamente
x*approx0,0388
No intervalo (-infty,x*) a quantidade dentro de arcsin varia de 0 até 1, e nunca se atinge x=2. Para x>x* o radicando ultrapassa 1 e y deixaria de ser real.
Resposta
O domínio da única solução que satisfaz y(0)=pi/4 é
boxed xin(-infty,;x* ) onde (x*) é a menor solução de 8raiz2,(x*-1)^2(x*-2)^4=1 , numericamente x*approx0,0388 éçã