Resolva cada PVI a seguir:

Passo 1

Estamos diante de um problema de valor inicial (PVI) para a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 0,
sujeita aos valores iniciais
y(0)=2, y'(0)=4
Para resolver, vamos usar o método do polinômio característico e depois impor as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à equação diferencial:
r^2 + 4r + 3 = 0
Resolvendo-o, temos
r = -4 pm raiz4^2 - 4cdot1cdot32 = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22,
logo
r1 = -1, r2 = -3

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-3x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Primeiro calculamos
Em , as condições iniciais viram o sistema
Da primeira equação .

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = 5e^-x ;-; 3e^-3x

Exercícios relacionados