Questão 2. (2 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.
Informações dadas que vamos usar:
A série é uma série de potências centrada em \,1, porque o termo geral envolve (x-1)^{n}.
O coeficiente geral (fora de (x-1)^n) é \displaystyle \frac{2^{n}}{n}.
A pergunta é exatamente: para quais valores de x essa série converge? (ou seja, qual é o intervalo de convergência)
Passo 2
Estratégia: para séries de potências \sum a_n (x-c)^n é padrão calcular o raio de convergência R usando o teste da raiz (ou a fórmula do raio envolvendo \limsup). Vou aplicar o teste da raiz ao termo geral da série. Lembra: o teste da raiz diz que a série \sum b_n converge se
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|}<1,
e diverge se esse limite for >1. Aqui b_n=\dfrac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.
que é a série harmônica conhecida por divergir. (Breve justificativa: a soma parcial da série harmônica cresce sem limite; ou use o teste da integral ou o agrupamento clássico.) Conclusão: em x=\tfrac{3}{2} a série diverge.
Passo 4
Avaliação do extremo esquerdo x=\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=\tfrac{1}{2} obtemos (x-1)=-\tfrac{1}{2}. O termo geral é
que é a série alternada \sum (-1)^n / n. Pelo teste de Leibniz (teste da série alternada), se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é decrescente e tende a 0, logo a série converge. Observação adicional: a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos é \sum \dfrac{1}{n}, que diverge (é a harmônica).
Conclusão: em x=\tfrac{1}{2} a série converge (condicionalmente), e em x=\tfrac{3}{2} diverge.
Passo 5
Juntando tudo:
Convergência para |x-1|<\tfrac{1}{2}, isto é x\in\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\big).
Em x=\tfrac{1}{2} a série converge (alternada).
Em x=\tfrac{3}{2} a série diverge.
Portanto o intervalo de convergência é \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) (incluir \tfrac{1}{2}, excluir \tfrac{3}{2}).