Questão 2. (2 pontos) Determine o intervalo de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A série é uma série de potências centrada em \,1, porque o termo geral envolve (x-1)^{n}.
  • O coeficiente geral (fora de (x-1)^n) é \displaystyle \frac{2^{n}}{n}.
  • A pergunta é exatamente: para quais valores de x essa série converge? (ou seja, qual é o intervalo de convergência)

Passo 2

Estratégia: para séries de potências \sum a_n (x-c)^n é padrão calcular o raio de convergência R usando o teste da raiz (ou a fórmula do raio envolvendo \limsup). Vou aplicar o teste da raiz ao termo geral da série. Lembra: o teste da raiz diz que a série \sum b_n converge se
\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|b_n|}<1,
e diverge se esse limite for >1. Aqui b_n=\dfrac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}.
Calculemos \displaystyle \sqrt[n]{|b_n|}:
\sqrt[n]{\left|\frac{2^{n}(x-1)^{n}}{n}\right|} = \frac{\sqrt[n]{2^{n}}\;\sqrt[n]{|x-1|^{n}}}{\sqrt[n]{n}} = \frac{2\,|x-1|}{\sqrt[n]{n}}.
Agora fazemos n\to\infty. Sabemos que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 (uma propriedade básica — raízes n-ésimas de potências polinomiais tendem a 1). Portanto
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=2\,|x-1|.
Pelo teste da raiz, a série converge quando 2\,|x-1|<1, isto é,
|x-1|<\frac{1}{2}.
Logo o raio de convergência é R=\dfrac{1}{2}, e a convergência será para os x dentro do intervalo aberto
\left(1-\tfrac{1}{2},\,1+\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2},\,\tfrac{3}{2}\right).
Ainda falta avaliar os dois extremos \,x=\tfrac{1}{2} e \,x=\tfrac{3}{2}, pois o teste da raiz não decide os pontos da fronteira.

Passo 3

Avaliação do extremo direito x=\tfrac{3}{2}.
Substituindo x=\tfrac{3}{2} em (x-1) obtemos (x-1)=\tfrac{1}{2}. O termo geral vira
\frac{2^{n}\big(\tfrac{1}{2}\big)^{n}}{n}=\frac{(2^{n})(2^{-n})}{n}=\frac{1}{n}.
Portanto a série se reduz a
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica conhecida por divergir. (Breve justificativa: a soma parcial da série harmônica cresce sem limite; ou use o teste da integral ou o agrupamento clássico.) Conclusão: em x=\tfrac{3}{2} a série diverge.

Passo 4

Avaliação do extremo esquerdo x=\tfrac{1}{2}.
Substituindo x=\tfrac{1}{2} obtemos (x-1)=-\tfrac{1}{2}. O termo geral é
\frac{2^{n}\big(-\tfrac{1}{2}\big)^{n}}{n}=\frac{2^{n}(-1)^{n}2^{-n}}{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}.
Assim a série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n},
que é a série alternada \sum (-1)^n / n. Pelo teste de Leibniz (teste da série alternada), se (b_n) é uma sequência positiva, monótona decrescente e com \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^n b_n converge. Aqui b_n=\dfrac{1}{n} é decrescente e tende a 0, logo a série converge. Observação adicional: a convergência é condicional, pois a série dos valores absolutos é \sum \dfrac{1}{n}, que diverge (é a harmônica).
Conclusão: em x=\tfrac{1}{2} a série converge (condicionalmente), e em x=\tfrac{3}{2} diverge.

Passo 5

Juntando tudo:
  • Convergência para |x-1|<\tfrac{1}{2}, isto é x\in\big(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\big).
  • Em x=\tfrac{1}{2} a série converge (alternada).
  • Em x=\tfrac{3}{2} a série diverge.
Portanto o intervalo de convergência é \left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right) (incluir \tfrac{1}{2}, excluir \tfrac{3}{2}).

Resposta

\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\right)

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