Questão 2:(2,5 pontos)
Considere a função f(x)=\frac{x^{2}-3}{x-2}. Represente f por uma série de potências centrada em x=0. (1.3 pontos)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: f(x)=\dfrac{x^{2}-3}{x-2}.
  • Pedido: encontrar uma série de potências centrada em x=0 (ou seja, uma expansão tipo \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n válida num intervalo em torno de 0).
  • Informação implícita importante: a série de potências deverá ser convergente em alguma vizinhança de x=0; preciso indicar essa condição de convergência (raio de convergência).

Passo 2

Plano de ataque (qual método vou usar e por quê):
  • Aqui a função é uma razão de polinômios. Uma forma prática é fazer divisão polinomial para separar um polinômio (termos finitos) mais uma fração do tipo \dfrac{1}{\text{linear}}.
  • Depois, transformar essa fração linear numa forma geométrica \dfrac{1}{1-y} para usar a série geométrica \dfrac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty} y^{n} (válida para |y|<1).
  • Esse método é o mais direto e rápido para obter uma série centrada em 0, e gera uma condição clara de convergência ( |y|<1 vira |x|< algum valor).

Passo 3

Fazer a divisão polinomial de \dfrac{x^{2}-3}{x-2}:
  • Dividindo x^{2}-3 por x-2: x^{2}-3=(x-2)\cdot(x+2)+1.(Verificação rápida: (x-2)(x+2)=x^{2}-4, e somando o resto 1 x^{2}-3.)
  • Logo posso escrever \frac{x^{2}-3}{x-2}=x+2+\frac{1}{x-2}.

Passo 4

Reescrever a fração \dfrac{1}{x-2} de forma adequada para expansão geométrica:
  • Primeiro rewrite para ter a forma \dfrac{1}{1-y}. Observe: \frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2-x}.
  • Agora fatorar 2 de 2-x: \frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{x}{2}}.
  • Aqui identifiquei y=\tfrac{x}{2}. A série geométrica será \dfrac{1}{1-y}=\sum_{n=0}^{\infty} y^{n} desde que |y|<1, ou seja \left|\tfrac{x}{2}\right|<1 equivalente a |x|<2.

Passo 5

Aplicar a série geométrica e montar a série de potências:
  • Usando \dfrac{1}{1-\tfrac{x}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{n} para |x|<2, obtemos \frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^{n}=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}}.
  • Lembrando que f(x)=x+2+\dfrac{1}{x-2}, substituindo: f(x)=x+2-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}},\qquad \text{para }|x|<2.

Passo 6

Organizar a série no formato \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n e simplificar os primeiros coeficientes:
  • Separar termos constantes e de x:
    • O somatório dá termo de ordem x^{0} igual a -\dfrac{1}{2}.
    • O termo linear fora da soma é x; o termo linear do somatório (quando n=1) é -\dfrac{x}{2^{2}}=-\dfrac{x}{4}.
  • Portanto os primeiros coeficientes ficam: a_{0}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2},\qquad a_{1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
  • Para n\ge 2 o coeficiente é a_{n}=-\dfrac{1}{2^{\,n+1}}.
  • Assim uma forma clara é: f(x)=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}x-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}},\qquad |x|<2.

Passo 7

Interpretação final e condição de convergência:
  • A expansão obtida é uma série de potências centrada em 0.
  • A condição de validade vem da série geométrica usada: |x/2|<1, ou seja |x|<2. Portanto o raio de convergência é 2.

Resposta

f(x)=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}x-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n}}{2^{\,n+1}},\qquad \text{para }|x|<2.

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