Sabendo que y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{3} formam um conjunto fundamental de soluções para x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime} +6 y=0 \mathrm{em}(0, \infty), encontre a solução geral para
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=\frac{1}{x}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que ele pede:
  • É dada a equação diferencial
x^{2}y''-4xy'+6y=\frac{1}{x},\qquad x\in(0,\infty).
  • Foi informado que \;y_{1}=x^{2}\; e \;y_{2}=x^{3}\; formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
  • O que se pede: encontrar a solução geral da equação não homogênea indicada (ou seja, escrever a solução geral y(x) que satisfaça a equação com o termo \tfrac{1}{x}).

Passo 2

Primeiro precisamos da solução geral da equação homogênea associada
x^{2}y''-4xy'+6y=0.
Como \;y_{1}=x^{2}\; e \;y_{2}=x^{3}\; são um conjunto fundamental, a solução geral homogênea é a combinação linear
y_{h}=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Para confirmar que são linearmente independentes basta ver o Wronskiano:
W(y_{1},y_{2})(x)=\begin{vmatrix}x^{2} & x^{3}\\[4pt]2x & 3x^{2}\end{vmatrix}=3x^{4}-2x^{4}=x^{4}\neq0\\ \text{em }(0,\infty).
)]

Passo 3

Escolha do método para obter uma solução particular y_{p}:
  • A equação é do tipo equidimensional (Euler–Cauchy), para a qual monômios x^{m} costumam transformar a equação em relações algébricas entre expoentes.
  • O termo não homogêneo é \tfrac{1}{x}=x^{-1}. Então faz sentido tentar um particular da forma
y_{p}=A x^{-1},
com A constante a determinar.
  • Antes de usar essa tentativa, verificamos que o expoente -1 não coincide com os expoentes das soluções homogêneas (que são 2 e 3), então não precisamos multiplicar pela variável x por causa de ressonância — a tentativa direta deve funcionar.

Passo 4

Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação:
Derivadas de y_{p}=A x^{-1}:
y_{p}'=-A x^{-2},\qquad y_{p}''=2A x^{-3}.
Substituindo em x^{2}y''-4xy'+6y:
x^{2}y_{p}''-4x y_{p}'+6y_{p} = x^{2}\cdot(2A x^{-3})-4x\cdot(-A x^{-2})+6\cdot(A x^{-1}).

Passo 5

Continuar a simplificação e achar A:
Calcule termo a termo:
x^{2}\cdot(2A x^{-3})=2A x^{-1},
-4x\cdot(-A x^{-2})=+4A x^{-1},
6\cdot(A x^{-1})=6A x^{-1}.
Somando:
x^{2}y_{p}''-4x y_{p}'+6y_{p}=(2A+4A+6A)x^{-1}=12A x^{-1}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito \tfrac{1}{x}=1\cdot x^{-1}. Logo
12A x^{-1}=1\cdot x^{-1}\quad\Rightarrow\quad 12A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{12}.
Portanto uma solução particular é
y_{p}=\frac{1}{12}x^{-1}=\frac{1}{12x}.

Passo 6

Combinar solução homogênea e particular para obter a solução geral:
A solução geral da equação não homogênea é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}+\frac{1}{12x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3}+\dfrac{1}{12x}

Exercícios relacionados