Sabendo que y_{1}=x^{2} e y_{2}=x^{3} formam um conjunto fundamental de soluções para x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime} +6 y=0 \mathrm{em}(0, \infty), encontre a solução geral para
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=\frac{1}{x}
Foi informado que \;y_{1}=x^{2}\; e \;y_{2}=x^{3}\; formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação não homogênea indicada (ou seja, escrever a solução geral y(x) que satisfaça a equação com o termo \tfrac{1}{x}).
Passo 2
Primeiro precisamos da solução geral da equação homogênea associada
x^{2}y''-4xy'+6y=0.
Como \;y_{1}=x^{2}\; e \;y_{2}=x^{3}\; são um conjunto fundamental, a solução geral homogênea é a combinação linear
y_{h}=C_{1}x^{2}+C_{2}x^{3},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Para confirmar que são linearmente independentes basta ver o Wronskiano:
Escolha do método para obter uma solução particular y_{p}:
A equação é do tipo equidimensional (Euler–Cauchy), para a qual monômios x^{m} costumam transformar a equação em relações algébricas entre expoentes.
O termo não homogêneo é \tfrac{1}{x}=x^{-1}. Então faz sentido tentar um particular da forma
y_{p}=A x^{-1},
com A constante a determinar.
Antes de usar essa tentativa, verificamos que o expoente -1 não coincide com os expoentes das soluções homogêneas (que são 2 e 3), então não precisamos multiplicar pela variável x por causa de ressonância — a tentativa direta deve funcionar.
Passo 4
Calcular as derivadas de y_{p} e substituir na equação: