Classifique os sistemas abaixo e faça o que se pede.
Realize operações elementares sobre linhas para classificar os sistemas abaixo em sistema consistente/inconsistente. Caso o sistema seja consistente, indique se ele é determinado ou indeterminado.
Se existir algum sistema indeterminado, ache a solução geral e uma solução particular deste sistema.
\left\{\begin{array} { r } { 3 x + 2 y - z = - 1 3 } \\\ { - 2 x + y + 4 z = 1 4 } \\\ { x + 3 y + z = - 5 } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{c} 11 x+5 y-7 z+53=0 \\\ x+10 y+13 z-17=0 \\\\ -8 x-10 y-4 z-24=0 \end{array}\right.\right.

Passo 1

Temos dois sistemas lineares em três incógnitas (x,y,z). O objetivo é usar eliminação de Gauss (operações elementares em linhas) para descobrir, em cada caso, se o sistema é consistente ou inconsistente. Se for consistente, determinar se é determinado (solução única) ou indeterminado (infinitas soluções). Em caso de infinitas soluções, vamos escrever a solução geral e dar uma solução particular.

Passo 2

Analisamos primeiro
\begin{cases} 3x + 2y - z = -13,\\\\ -2x + y + 4z = 14,\\\ x + 3y + z = -5. \end{cases}
Matriz aumentada inicial:
\bigl[\, \begin{smallmatrix} 3 & 2 & -1 & \bigl|\bigr & -13\\\\ -2 & 1 & 4 & \bigl|\bigr & 14\\\\ 1 & 3 & 1 & \bigl|\bigr & -5 \end{smallmatrix}\,\bigr].
  1. Troquei a primeira e a terceira linha para ter pivô 1 em (1,1).
  2. Zerei as entradas abaixo do pivô em x:
  • L_2 \leftarrow L_2 + 2L_1,
  • L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1.
  1. Obtive o sistema escalonado
\begin{cases} x + 3y + z = -5,\\\\ 7y + 6z = 4,\\\\ 2z = 6. \end{cases}

Passo 3

Da terceira equação vem \;z=3. Substituindo na segunda,
7y + 6\cdot3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 7y = -14 \quad\Longrightarrow\quad y = -2.
Finalmente, na primeira,
x + 3(-2) + 3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x -6 +3 = -5 \quad\Longrightarrow\quad x = -2.
Logo esse sistema é consistente e determinado, com solução única
(x,y,z) = (-2,\,-2,\,3).

Passo 4

Agora o sistema
\begin{cases} 11x + 5y - 7z = -53,\\\ x + 10y + 13z = 17,\\\\ -8x -10y - 4z = 24. \end{cases}
Matriz aumentada:
\bigl[\, \begin{smallmatrix} 11 & 5 & -7 & \bigl|\bigr & -53\\\\ 1 & 10 & 13 & \bigl|\bigr & 17\\\\ -8 & -10 & -4 & \bigl|\bigr & 24 \end{smallmatrix}\,\bigr].
  1. Troquei L_1\leftrightarrow L_2 para pivô 1.
  2. Zerei abaixo e acima do pivô em x:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 11L_1,
  • L_3 \leftarrow L_3 + 8L_1.
  1. Simplifiquei as linhas 2 e 3 por fatores comuns, obtendo
\begin{cases} x + 10y + 13z = 17,\\\\ 21y + 30z = 48,\\\\ 0 = 0. \end{cases}

Passo 5

Há apenas duas equações independentes em três incógnitas, logo uma linha virou 0=0 e há grau de liberdade.
  1. Seja parâmetro \;z = t.
  2. Da segunda equação,
21y + 30t = 48 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{48 - 30t}{21} = \frac{48}{21} - \frac{30}{21}\,t = \frac{16}{7} - \frac{10}{7}\,t.
  1. Da primeira,
x = 17 - 10y -13t = 17 -10\Bigl(\tfrac{16}{7}-\tfrac{10}{7}t\Bigr)-13t = -\frac{41}{7} + \frac{9}{7}\,t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{41}{7} + \tfrac{9}{7}t,\quad \tfrac{16}{7} - \tfrac{10}{7}t,\quad t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R}.
Uma solução particular toma t=0:
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{41}{7},\,\tfrac{16}{7},\,0\Bigr).

Resposta

Sistema 1: consistente e determinado. Solução única
(x,y,z) = (-2,\,-2,\,3).
Sistema 2: consistente e indeterminado.
Solução geral
(x,y,z) = \Bigl(-\tfrac{41}{7} + \tfrac{9}{7}t,\; \tfrac{16}{7} - \tfrac{10}{7}t,\; t\Bigr), \quad t\in\mathbb{R},
solução particular por exemplo (x,y,z)=(-\tfrac{41}{7},\,\tfrac{16}{7},\,0).

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