Numa reunião de professores, em que cada um cumprimentou todos os seus colegas, registram-se 210 apertos de mão. O número de professores presentes à reunião foi de:
Passo 1
O enunciado dá que, numa reunião, cada professor cumprimentou todos os seus colegas e ao todo foram registrados
apertos de mão. A pergunta é: qual o número de professores presentes? Listei as informações relevantes:
- Número total de apertos de mão:
. - Cada aperto de mão ocorre entre dois professores distintos e é contado uma única vez.
A partir disso precisamos determinar o valor inteiro positivoque representa o número de professores.
Passo 2
Vamos modelar o problema com uma variável: seja
o número de professores.
Se você pensar em um único professor, ele cumprimenta os outros colegas. Faz sentido contar assim para cada professor: cada um tem
apertos de mão. Então, somando essas contagens para todos os
professores obtemos
.
Mas atenção: ao somar assim estamos contando cada aperto de mão duas vezes (por exemplo, o aperto entre A e B é contado uma vez quando contamos os apertos de A e outra vez quando contamos os de B). Para corrigir isso dividimos por . Assim a fórmula para o total de apertos de mão é
Se você pensar em um único professor, ele cumprimenta os outros
Mas atenção: ao somar assim estamos contando cada aperto de mão duas vezes (por exemplo, o aperto entre A e B é contado uma vez quando contamos os apertos de A e outra vez quando contamos os de B). Para corrigir isso dividimos por
Exemplo curto para fixar: se
, a fórmula dá
apertos, que corresponde exatamente ao que listaríamos manualmente.
Passo 3
Usando a informação do enunciado, igualamos a expressão ao total observado:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos transformar em uma equação quadrática para resolver:
Agora precisamos encontrar
que satisfaça essa equação. Existem várias formas: fatoração em inteiros (quando possível) ou fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou usar primeiro fatoração, que costuma ser mais rápida quando os números são amigáveis.
Passo 5
Procuramos dois inteiros cuja multiplicação dê
e cuja soma dê o coeficiente de
, que é
. Os números
e
funcionam porque
Portanto podemos fatorar a quadrática:
Igualando a zero, obtemos as soluções
ou seja
ou
.
Passo 6
Interpretação prática:
é o número de pessoas, logo deve ser um inteiro positivo. Assim descartamos
(impossível no contexto) e ficamos com
Como checagem alternativa rápida: pela fórmula de Bhaskara a discriminante é
,
, e
dá novamente
e
.
Passo 7
Dica útil para prova: reconhecer números triangulares ajuda — o total de apertos é
, que é o número triangular
. Se você souber que
, então
e
. Isso acelera bastante em prova sem precisar resolver a quadrática.