Numa reunião de professores, em que cada um cumprimentou todos os seus colegas, registram-se 210 apertos de mão. O número de professores presentes à reunião foi de:

Passo 1

O enunciado dá que, numa reunião, cada professor cumprimentou todos os seus colegas e ao todo foram registrados 210 apertos de mão. A pergunta é: qual o número de professores presentes? Listei as informações relevantes:
  • Número total de apertos de mão: 210.
  • Cada aperto de mão ocorre entre dois professores distintos e é contado uma única vez.
    A partir disso precisamos determinar o valor inteiro positivo n que representa o número de professores.

Passo 2

Vamos modelar o problema com uma variável: seja n o número de professores.
Se você pensar em um único professor, ele cumprimenta os outros n-1 colegas. Faz sentido contar assim para cada professor: cada um tem n-1 apertos de mão. Então, somando essas contagens para todos os n professores obtemos n(n-1).
Mas atenção: ao somar assim estamos contando cada aperto de mão duas vezes (por exemplo, o aperto entre A e B é contado uma vez quando contamos os apertos de A e outra vez quando contamos os de B). Para corrigir isso dividimos por 2. Assim a fórmula para o total de apertos de mão é
\frac{n(n-1)}{2}.
Exemplo curto para fixar: se n=4, a fórmula dá \frac{4\cdot3}{2}=6 apertos, que corresponde exatamente ao que listaríamos manualmente.

Passo 3

Usando a informação do enunciado, igualamos a expressão ao total observado:
\frac{n(n-1)}{2}=210.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-1)=420.

Passo 4

Vamos transformar em uma equação quadrática para resolver:
n(n-1)=420 \quad\Longrightarrow\quad n^{2}-n-420=0.
Agora precisamos encontrar n que satisfaça essa equação. Existem várias formas: fatoração em inteiros (quando possível) ou fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Vou usar primeiro fatoração, que costuma ser mais rápida quando os números são amigáveis.

Passo 5

Procuramos dois inteiros cuja multiplicação dê -420 e cuja soma dê o coeficiente de n, que é -1. Os números 20 e -21 funcionam porque
20\cdot(-21)=-420\quad\text{e}\quad 20+(-21)=-1.
Portanto podemos fatorar a quadrática:
n^{2}-n-420=(n-21)(n+20).
Igualando a zero, obtemos as soluções
n-21=0\quad\text{ou}\quad n+20=0,
ou seja n=21 ou n=-20.

Passo 6

Interpretação prática: n é o número de pessoas, logo deve ser um inteiro positivo. Assim descartamos n=-20 (impossível no contexto) e ficamos com
n=21.
Como checagem alternativa rápida: pela fórmula de Bhaskara a discriminante é \Delta=1+4\cdot420=1681, \sqrt{\Delta}=41, e n=(1\pm41)/2 dá novamente 21 e -20.

Passo 7

Dica útil para prova: reconhecer números triangulares ajuda — o total de apertos é \dfrac{n(n-1)}{2}, que é o número triangular T_{n-1}. Se você souber que 210=\dfrac{20\cdot21}{2}, então n-1=20 e n=21. Isso acelera bastante em prova sem precisar resolver a quadrática.

Resposta

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