Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial e nos dá:
O que se quer é a solução geral
(ou uma expressão implícita que a defina). As informações relevantes são exatamente os termos presentes: o lado direito envolve
e a combinação
no expoente
.
Passo 2
Observação / escolha da substituição: o termo
depende apenas da razão
. Sempre que uma EDO contém combinações do tipo
é natural tentar a substituição
Vou explicar por que: se
, então
e a derivada
pode ser escrita só em termos de
e
. Isso costuma transformar a equação numa que depende apenas de
e
, frequentemente separável. Não é preciso adivinhar demais: o objetivo é tornar o expoente uma função simples de
.
Passo 3
Faço a substituição passo a passo. Com
temos
Substituindo na equação original:
Agora troco
por
e uso que
no expoente:
Note que
aparece dos dois lados e cancela:
Divido por
(aqui estou considerando
; a solução constante ou comportamento em
seria tratado à parte se necessário):
Passo 4
Agora a equação está pronta para separação de variáveis. Escrevo:
Separando as variáveis
e
:
Explique rápido a ideia: quer-se reunir todos os termos em
do lado esquerdo e todos os termos em
do lado direito, para integrar cada lado independentemente.
Passo 5
Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta (pode pensar em
ou notar que a derivada de
é
):
No lado direito:
Junto as constantes (posso reunir
e
numa única constante). Igualando as primitivas:
onde
é constante arbitrária. Multiplicando por
:
com
outra constante arbitrária.
Passo 6
Volto à variável original
usando
. Substituindo:
Isto é uma forma implícita da solução geral. Se quiser escrever explicitamente
em função de
, tomo logaritmo natural (lembrando que isso requer
):
portanto
onde
é constante arbitrária e a solução é válida para
tais que
.