Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
y \frac{d x}{d y}=x+4 y e^{-2 x / y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial e nos dá:
y\frac{dx}{dy}=x+4y\,e^{-2x/y}.
O que se quer é a solução geral x(y) (ou uma expressão implícita que a defina). As informações relevantes são exatamente os termos presentes: o lado direito envolve x e a combinação x/y no expoente e^{-2x/y}.

Passo 2

Observação / escolha da substituição: o termo e^{-2x/y} depende apenas da razão x/y. Sempre que uma EDO contém combinações do tipo x/y é natural tentar a substituição
u=\frac{x}{y}.
Vou explicar por que: se u=x/y, então x=u y e a derivada dx/dy pode ser escrita só em termos de u e du/dy. Isso costuma transformar a equação numa que depende apenas de u e y, frequentemente separável. Não é preciso adivinhar demais: o objetivo é tornar o expoente uma função simples de u.

Passo 3

Faço a substituição passo a passo. Com x=uy temos
\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}.
Substituindo na equação original:
y\bigg(u+y\frac{du}{dy}\bigg)=x+4y\,e^{-2x/y}.
Agora troco x por uy e uso que x/y=u no expoente:
y u + y^{2}\frac{du}{dy}=u y + 4y\,e^{-2u}.
Note que y u aparece dos dois lados e cancela:
y^{2}\frac{du}{dy}=4y\,e^{-2u}.
Divido por y (aqui estou considerando y\neq0; a solução constante ou comportamento em y=0 seria tratado à parte se necessário):
y\frac{du}{dy}=4e^{-2u}.

Passo 4

Agora a equação está pronta para separação de variáveis. Escrevo:
\frac{du}{dy}=\frac{4e^{-2u}}{y}.
Separando as variáveis u e y:
e^{2u}\,du = \frac{4}{y}\,dy.
Explique rápido a ideia: quer-se reunir todos os termos em u do lado esquerdo e todos os termos em y do lado direito, para integrar cada lado independentemente.

Passo 5

Integro ambos os lados. A integral do lado esquerdo é direta (pode pensar em t=2u ou notar que a derivada de e^{2u} é 2e^{2u}):
\int e^{2u}\,du = \frac{1}{2}e^{2u} + C_{1}.
No lado direito:
\int \frac{4}{y}\,dy = 4\ln|y| + C_{2}.
Junto as constantes (posso reunir C_{1} e C_{2} numa única constante). Igualando as primitivas:
\frac{1}{2}e^{2u}=4\ln|y| + C,
onde C é constante arbitrária. Multiplicando por 2:
e^{2u}=8\ln|y| + C_{1},
com C_{1}=2C outra constante arbitrária.

Passo 6

Volto à variável original x usando u=x/y. Substituindo:
e^{2x/y}=C_{1}+8\ln|y|.
Isto é uma forma implícita da solução geral. Se quiser escrever explicitamente x em função de y, tomo logaritmo natural (lembrando que isso requer C_{1}+8\ln|y|>0):
\frac{2x}{y}=\ln\!\bigl(C_{1}+8\ln|y|\bigr),
portanto
x=\frac{y}{2}\ln\!\bigl(C_{1}+8\ln|y|\bigr),
onde C_{1} é constante arbitrária e a solução é válida para y tais que C_{1}+8\ln|y|>0.

Resposta

e^{2x/y}=C+8\ln|y|
\text{ou}\quad x=\frac{y}{2}\ln\!\bigl(C+8\ln|y|\bigr),\quad C\\ \text{constante, com}\\ C+8\ln|y|>0

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