Questão 6 pontos
Determine a solução da equação diferencial ordinária usando o método do fator integrante.
d yd t+2t y=t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
dydt + 2t,y = t
Esse é um caso clássico de equação linear de primeira ordem. Para tratar esse tipo de equação vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de y como 2t. O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = exp!l(integral 2t,dtr) = expl(2ln|t|r) = t^2
(assumindo tneq0).

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(t)=t^2:
t^2dydt + 2t,y = t^3
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^2 y, pois
ddtl(t^2 yr) = t^2dydt + 2t,y
Logo a equação fica
ddtl(t^2 yr) = t^3

Passo 4

Agora é só integrar ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(t^2 yr),dt = integral t^3,dt
t^2 y = t^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para encontrar y, dividimos por t^2:
y = t^44,t^2 + Ct^2 = t^24 + C,t^-2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = t^24 + Ct^2, tneq0,
onde C é uma constante arbitrária.

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