Questão 6 pontos
Determine a solução do problema de valor inicial (PVI):
P V I:rlr d yd t & = & sen(n t)+t^2+1 y(0) & = & 0
onde n, é a data de seu aniversário.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
PVI: dydt = sin(n t) + t^2 + 1, y(0)=0,
onde n é uma constante. É uma EDO de primeira ordem simples, cuja solução achamos integrando o lado direito em relação a t.

Passo 2

Integramos dydt = sin(n t) + t^2 + 1 em t, escrevendo
y(t) = integrall[sin(n t)+t^2+1r],dt + C
Agora separamos a integral em três partes:
1. integral sin(n t),dt = -cos(n t)n,
2. integral t^2,dt = t^33,
3. integral 1,dt = t
Logo
y(t) = -cos(n t)n + t^33 + t + C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Substituindo t=0 em
y(0) = -cos(0)n + 0^33 + 0 + C = -1n + C = 0,
vemos que
C = 1n
Portanto, a solução geral com a constante ajustada é
y(t) = -cos(n t)n + t^33 + t + 1n

Resposta

y(t) = t^33 + t + 1 - cos(n t)n

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