Questão 2 (2 pontos) Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado, e em que direção isto ocorre:
$ (1,0$ ponto) (1,0 na direção f(x, y)=y ln (x y) ;(x, y)=(1,1) ; R=raiz2

Passo 1

Temos a função f(x,y)=yln(xy) e queremos achar a taxa de variação máxima em (1,1) e a direção em que isso ocorre. Para isso vamos usar derivadas parciais e o conceito de gradiente.

Passo 2

Como o gradiente de f é dado por nabla f=(fx,fy), calculamos as derivadas parciais: Para f(x,y)=y(ln x+ln y) temos fx=yx e fy=ln(xy)+1.

Passo 3

Avaliando em (1,1) obtemos nabla f(1,1)=l(tfrac11,ln(1cdot1)+1r)=(1,1) O módulo desse vetor é

Passo 4

A direção de maior crescimento é o vetor unitário na direção do gradiente. Logo

Resposta

A taxa de variação máxima em (1,1) é raiz2 e ocorre na direção do vetor (tfrac1raiz2,tfrac1raiz2).

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