Sejam y1 e y2 duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
a2(x) y^prime prime+a1 y^prime+a0(x) y=0
b) Deduza a fórmula de Abel*:
W=c e^-integral[a1(x) / a2(x)] d x
em que c é uma constante.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a fórmula de Abel, que dá a expressão do Wronskiano de duas soluções y1, y2 da EDO de 2ª ordem a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y=0. Vamos usar o conceito de Wronskiano e a própria equação para chegar num EDO de 1ª ordem para W.

Passo 2

Definimos o Wronskiano de y1, y2 como W(x)=y1y2' - y1'y2. Nosso objetivo é achar W'(x) e expressá-lo em função de W(x) usando a equação original.

Passo 3

Calculamos a derivada de W:
W' = ddx(y1y2' - y1'y2) = y1'y2' + y1y2'' - y1''y2 - y1'y2'
Os termos y1'y2' se cancelam, sobrando:
W' = y1y2'' - y1''y2

Passo 4

Agora usamos a EDO original para substituir yi''. Da equação a2yi'' + a1yi' + a0yi=0 temos
yi'' = -a1a2yi' - a0a2yi, i=1,2
Substituindo em W':
W' = y1l(-a1a2y2' - a0a2y2r) - l(-a1a2y1' - a0a2y1r)y2

Passo 5

Distribuindo e rearranjando os termos, os que envolvem a0 também se cancelam, restando:
W' = -a1a2l(y1y2' - y1'y2r) = -a1a2W
Esse é um EDO de 1ª ordem para W:
W' + a1a2W = 0

Passo 6

Resolvendo essa EDO separando variáveis, temos
W'W = -a1a2,
integrando ambos os lados:
ln|W| = -integral a1(x)a2(x),dx + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando:
W = c,e^-integral [a1(x)/a2(x)],dx,
em que c = e^C.
Chegamos assim à fórmula de Abel, que mostra como o Wronskiano de duas soluções varia apenas pelo fator exponencial envolvendo os coeficientes de primeira derivada e segunda derivada da EDO.

Resposta

W(x)=c,e^-integrala1(x)a2(x),dx

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