Sejam
e
duas soluções da seguinte equação diferencial de segunda ordem
b) Deduza a fórmula de Abel*:
em que
é uma constante.
Passo 1
O enunciado pede para deduzir a fórmula de Abel, que dá a expressão do Wronskiano de duas soluções
da EDO de 2ª ordem
. Vamos usar o conceito de Wronskiano e a própria equação para chegar num EDO de 1ª ordem para
.
Passo 2
Definimos o Wronskiano de
como
. Nosso objetivo é achar
e expressá-lo em função de
usando a equação original.
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Os termos
se cancelam, sobrando:
Passo 4
Agora usamos a EDO original para substituir
. Da equação
temos
Substituindo em
:
Passo 5
Distribuindo e rearranjando os termos, os que envolvem
também se cancelam, restando:
Esse é um EDO de 1ª ordem para
:
Passo 6
Resolvendo essa EDO separando variáveis, temos
integrando ambos os lados:
onde
é constante de integração. Exponenciando:
em que
.
Chegamos assim à fórmula de Abel, que mostra como o Wronskiano de duas soluções varia apenas pelo fator exponencial envolvendo os coeficientes de primeira derivada e segunda derivada da EDO.
Chegamos assim à fórmula de Abel, que mostra como o Wronskiano de duas soluções varia apenas pelo fator exponencial envolvendo os coeficientes de primeira derivada e segunda derivada da EDO.