Questão 4 (2,0 pontos) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut-Schwarz é válida para:
Passo 1
O enunciado quer que a gente calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
e verifique se vale o Teorema de Clairaut–Schwarz (isto é, se
). Como
é um polinômio em
e
, suas derivadas de segunda ordem são contínuas, o que já sugere que o teorema deve valer.
Passo 2
Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a , tratamos
como constante:
Derivando em relação a
Derivando em relação a
, tratamos
como constante:
Passo 3
Agora calculamos
e
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
:
Passo 4
Em seguida, obtemos
e
.
Derivando em relação a
:
Derivando
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Comparando as derivadas mistas achadas:
vemos que
para todo
. Logo, a condição do Teorema de Clairaut–Schwarz está satisfeita.
Resposta
E como
, o Teorema de Clairaut–Schwarz é válido para
.