Questão 4 (2,0 pontos) Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut-Schwarz é válida para:
f(x, y)=x^4 y^2+3 x y^5

Passo 1

O enunciado quer que a gente calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x^4y^2+3xy^5
e verifique se vale o Teorema de Clairaut–Schwarz (isto é, se fxy=fyx). Como f é um polinômio em x e y, suas derivadas de segunda ordem são contínuas, o que já sugere que o teorema deve valer.

Passo 2

Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem.
Derivando em relação a x, tratamos y como constante:
fx = partialpartial xl(x^4y^2+3xy^5r) =4x^3y^2 + 3y^5
Derivando em relação a y, tratamos x como constante:
fy = partialpartial yl(x^4y^2+3xy^5r) =2x^4y + 15xy^4

Passo 3

Agora calculamos ,fxx e ,fxy.
Derivando fx=4x^3y^2+3y^5 em relação a x:
fxx = partialpartial x(4x^3y^2+3y^5) =12x^2y^2
Derivando fx em relação a y:
fxy = partialpartial y(4x^3y^2+3y^5) =4x^3cdot 2y + 3cdot 5y^4 =8x^3y + 15y^4

Passo 4

Em seguida, obtemos ,fyx e ,fyy.
Derivando fy=2x^4y+15xy^4 em relação a x:
fyx = partialpartial x(2x^4y+15xy^4) =2cdot 4x^3y + 15y^4 =8x^3y + 15y^4
Derivando fy em relação a y:
fyy = partialpartial y(2x^4y+15xy^4) =2x^4 +15xcdot 4y^3 =2x^4 + 60xy^3

Passo 5

Comparando as derivadas mistas achadas:
fxy = 8x^3y + 15y^4, fyx = 8x^3y + 15y^4,
vemos que fxy=fyx para todo (x,y). Logo, a condição do Teorema de Clairaut–Schwarz está satisfeita.

Resposta

fxx = 12x^2y^2, fxy = 8x^3y + 15y^4, fyx = 8x^3y + 15y^4, fyy = 2x^4 + 60xy^3
E como fxy=fyx, o Teorema de Clairaut–Schwarz é válido para f.

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