Em cada um dos seguintes casos encontre f^prime(x) e f^prime prime(x).
f(x)=arcsin (e^x+1)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
f(x)=arcsinl(e^x+1r)
Aqui vamos precisar da regra da cadeia e da fórmula
ddul(arcsin ur)=1raiz1-u^2

Passo 2

Definindo u(x)=e^x+1, temos f(x)=arcsinl(u(x)r). Pela regra da cadeia,
f'(x) =u'(x)raiz1-l(u(x)r)^2 =e^xraiz1-(e^x+1)^2

Passo 3

Para f''(x) é mais prático ver
f'(x)=e^xl[,1-(e^x+1)^2r]^-tfrac12
e usar regra do produto e da cadeia. Chamando
g(x)=l[,1-(e^x+1)^2r]^-tfrac12,
temos f'(x)=e^x,g(x). Então
f''(x) =ddxl(e^xr),g(x)+e^x,g'(x) =e^x,g(x)+e^x,g'(x)
Para g'(x), use
g(x)=l(h(x)r)^-tfrac12, h(x)=1-(e^x+1)^2,
então
g'(x) =-tfrac12l(h(x)r)^-tfrac32cdot h'(x), h'(x)=-2,(e^x+1),e^x
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g'(x) =-tfrac12l(h(x)r)^-tfrac32cdotl[-2,(e^x+1),e^xr] =e^2x(e^x+1)l[,1-(e^x+1)^2r]^-tfrac32
Substituindo em f''(x),
f''(x) =e^xl[,1-(e^x+1)^2r]^-tfrac12 +e^xcdot e^2x(e^x+1)l[,1-(e^x+1)^2r]^-tfrac32

Resposta

f'(x)=e^xraiz1-(e^x+1)^2, f''(x) =e^xraiz1-(e^x+1)^2 +e^2x(e^x+1)l[,1-(e^x+1)^2r]^3/2

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