Seja R a região do primeiro quadrante delimitada pela curva y=1+x^22 e pela reta normal à essa curva no ponto (2,3). O volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo O x é:
(a) 360 pi15;
(b) 361 pi15;
© 362 pi15;
(d) 363 pi15;
(e) 364 pi15.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo Ox, a região R no primeiro quadrante limitada pela curva y=1+\tfrac{x^2}{2} e pela reta normal a essa curva no ponto (2,3). Vamos precisar: (i) achar a equação da normal, (ii) determinar onde curva e reta se cruzam em [0,∞), (iii) identificar qual é a função “externa” e qual é a “interna” para o método dos discos (lavador), e (iv) montar a integral do volume.

Passo 2

Derivando y=1+\tfrac{x^2}{2} temos y’=x, de modo que no ponto x=2 a declividade é 2. Logo a normal tem coeficiente angular m_n=-1/2, e passa por (2,3), dando: y-3=-tfrac12(x-2), y=-tfrac12x+4

Passo 3

Curva e reta se intersectam em x tais que 1+\tfrac{x^2}{2}=-\tfrac12x+4. Multiplicando por 2: 2+x^2=-x+8 ⇒ x^2+x-6=0 ⇒ x=2 ou x=-3. No primeiro quadrante só vale x=2. Para 0≤x≤2, temos y_reta=4-\tfrac x2 ≥ y_curva=1+\tfrac{x^2}{2}.

Passo 4

Pelo método dos discos (lavadores), o volume é
$$V=\pi\int_{x=0}{2}\bigl[(y_{externa})2-(y_{interna})^2\bigr]dx
=\pi\int_0^2\Bigl[(4-\tfrac x2)2-(1+\tfrac{x2}{2})^2\Bigr]dx.$$

Passo 5

Expandindo: (4-\tfrac x2)2=16-4x+\tfrac{x2}{4}, \ (1+\tfrac{x2}{2})2=1+x2+\tfrac{x4}{4}. Logo o integrando é
15-4x-\tfrac{3x2}{4}-\tfrac{x4}{4}.
Integrando termo a termo de 0 a 2 obtemos
$$\int_02\Bigl(15-4x-\tfrac{3x2}{4}-\tfrac{x^4}{4}\Bigr)dx=18.4=\tfrac{92}{5}.
$$

Passo 6

Assim o volume é
V=picdottfrac925=92pi5

Resposta

\displaystyle \frac{92\pi}{5}

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