Encontre uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede: encontrar uma fórmula para o termo geral
, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos escritos são ,
,
,
, ··· e, observando, os denominadores formam a sequência
. A tarefa é expressar
em função de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos escritos são
Passo 2
Vamos olhar para os denominadores
. Isso é uma progressão aritmética (uma sequência onde cada termo aumenta por um valor fixo). Para formalizar, chamo o
-ésimo denominador de
. A fórmula geral de um termo de progressão aritmética é
onde
é o
-ésimo termo,
é o primeiro termo e
é a razão (diferença comum). Aqui, o primeiro denominador é
e a razão é
(porque
,
, etc.). Substituindo esses valores:
Passo 3
Agora simplificamos a expressão de
. Desenvolvendo os parênteses:
Somando os termos constantes
obtemos
Então o
-ésimo denominador é
.
Passo 4
Como cada termo da sequência original é o inverso desses denominadores, temos
Aqui
corresponde ao índice do termo: se adotarmos a convenção usual de início em
, então
,
,
, que conferem com os termos dados — verificação feita.
Passo 5
Observação útil (para a prova): algumas pessoas preferem indexar sequências a partir de
. Se você quisesse começar em
, a mesma sequência se escreve como
mas como o enunciado pediu simplesmente
sem especificar o início, a forma mais comum é usar
e a fórmula apresentada no passo anterior.