Encontre uma fórmula para o termo geral a_{n} da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
\left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \ldots\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \ldots\right\} e pede: encontrar uma fórmula para o termo geral a_{n}, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os termos escritos são \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, ··· e, observando, os denominadores formam a sequência 3,5,7,9,\ldots. A tarefa é expressar a_{n} em função de n.

Passo 2

Vamos olhar para os denominadores 3,5,7,9,\ldots. Isso é uma progressão aritmética (uma sequência onde cada termo aumenta por um valor fixo). Para formalizar, chamo o n-ésimo denominador de d_{n}. A fórmula geral de um termo de progressão aritmética é
d_{n}=d_{1}+(n-1)r,
onde d_{n} é o n-ésimo termo, d_{1} é o primeiro termo e r é a razão (diferença comum). Aqui, o primeiro denominador é d_{1}=3 e a razão é r=2 (porque 5-3=2, 7-5=2, etc.). Substituindo esses valores:
d_{n}=3+(n-1)\cdot 2.

Passo 3

Agora simplificamos a expressão de d_{n}. Desenvolvendo os parênteses:
d_{n}=3+2n-2.
Somando os termos constantes 3-2 obtemos
d_{n}=2n+1.
Então o n-ésimo denominador é 2n+1.

Passo 4

Como cada termo da sequência original é o inverso desses denominadores, temos
a_{n}=\frac{1}{d_{n}}=\frac{1}{2n+1}.
Aqui n corresponde ao índice do termo: se adotarmos a convenção usual de início em n=1, então a_{1}=\frac{1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3}, a_{2}=\frac{1}{5}, a_{3}=\frac{1}{7}, que conferem com os termos dados — verificação feita.

Passo 5

Observação útil (para a prova): algumas pessoas preferem indexar sequências a partir de n=0. Se você quisesse começar em n=0, a mesma sequência se escreve como
a_{n}=\frac{1}{2n+3}\quad\text{(para \(n=0,1,2,\ldots\))},
mas como o enunciado pediu simplesmente a_{n} sem especificar o início, a forma mais comum é usar n\ge 1 e a fórmula apresentada no passo anterior.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2n+1},\; n\ge 1

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