Questão 1 (2,5 pontos)

Determine o vetor campo elétrico no ponto A posicionado a uma distância z ortogonalmente acima do ponto médio de um fio unidimensional com comprimento 2 L carregado uniformemente com uma densidade de carga linear lambda.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no ponto A que está a uma distância z acima do ponto médio de um fio retilíneo de comprimento 2L carregado uniformemente com densidade linear lambda. O conteúdo é eletrostática de distribuições contínuas e vamos usar a Lei de Coulomb para cargas elementares.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que o fio ocupa o eixo x de -L a L e o ponto A está em (0,0,z). Um elemento de carga do fio é
dQ = lambda,dx

Passo 3

Pelo enunciado, cada elemento gera um campo
dvec E = 14pivarepsilon0,dQr^2,hat r,
onde r^2 = x^2 + z^2. Decompomos dvec E em componentes x e z. Pelas simetrias, as componentes horizontais se cancelam e sobra apenas a componente vertical.

Passo 4

A componente z de dvec E é
dEz = 14pivarepsilon0,lambda,dx(x^2+z^2)costheta = 14pivarepsilon0,lambda,dx(x^2+z^2)zraizx^2+z^2 = 14pivarepsilon0,lambda,z,dx(x^2+z^2)^3/2
Integramos de x=-L a x=L:
Ez = integral-L^LdEz = lambda,z4pivarepsilon0 integral-L^Ldx(x^2+z^2)^3/2

Passo 5

Usamos a integral conhecida
integral-L^Ldx(x^2+z^2)^3/2 = 2Lz^2raizL^2+z^2
Portanto
Ez = lambda,z4pivarepsilon0,2Lz^2raizL^2+z^2 = lambda4pivarepsilon0,2LzraizL^2+z^2

Resposta

boxedvec E(A) = lambda4pivarepsilon0,2LzraizL^2+z^2;hat z

Exercícios relacionados