; onde
é o sólido limitado pelo cilindro:
, pelo paraboloide:
e o plano
, no interior do cilindro.
Passo 1
O exercício pede para calcular
, onde
é o sólido limitado pelo cilindro
, pelo paraboloide
e pelo plano
. O conteúdo envolve integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas e precisamos usar a definição de jacobiano e limites apropriados.
Passo 2
Para aproveitar a simetria circular, passamos para coordenadas cilíndricas:
,
,
. Nesse sistema o jacobiano vale
, o cilindro vira
, o paraboloide vira
e o plano permanece
.
O integral triplo fica então
O integral triplo fica então
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Passo 4
Multiplicando pelo
do jacobiano e integrando em
:
Passo 5
Para terminar, integramos em
de 0 a
, o que multiplica por
: