3^ ® Questão:(4.0 pontos) Calcu<= as integrais: ã
integral triplaW z d V; onde W é o sólido limitado pelo cilindro: x^2+y^2=4, pelo paraboloide: z=x^2+y^2 e o plano z=10, no interior do cilindro.

Passo 1

O exercício pede para calcular integral triplaW z , dV, onde W é o sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=4, pelo paraboloide z=x^2+y^2 e pelo plano z=10. O conteúdo envolve integrais múltiplas em coordenadas cilíndricas e precisamos usar a definição de jacobiano e limites apropriados.

Passo 2

Para aproveitar a simetria circular, passamos para coordenadas cilíndricas: x=rcostheta, y=rsintheta, z=z. Nesse sistema o jacobiano vale r, o cilindro vira r=2, o paraboloide vira z=r^2 e o plano permanece z=10.
O integral triplo fica então
integral triplaW z , dV = integraltheta=0^2pi integralr=0^2 integralz=r^2^10 z ; r , dz , dr , dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em z:
integralz=r^2^10 z , dz = l[tfracz^22r]r^2^10 = 1002 - r^42 = 50 - r^42,

Passo 4

Multiplicando pelo r do jacobiano e integrando em r:
integral0^2 l(50 - tfracr^42r) r , dr = integral0^2 l(50r - tfracr^52r) dr = l[25r^2 - tfracr^612r]0^2 = 25cdot4 - 6412 = 100 - 163 = 2843

Passo 5

Para terminar, integramos em theta de 0 a 2pi, o que multiplica por 2pi:
integral triplaW z , dV = 2pi cdot 2843 = 568pi3

Resposta

dfrac568pi3

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