3^{a} Questão (3.0 pontos)
Qual deve ser o valor da resistência R (em termos de L e de C ) para que a frequència das oscilaçōes de um circuito L-R-C em série seja igual à metade da frequència do circuito nào amortecido?

Passo 1

O enunciado pede o valor de R em termos de L e C para que a frequência de oscilação amortecida de um circuito série L R C seja igual à metade da frequência natural do circuito não amortecido. O conteúdo envolvido é o de circuitos RLC subamortecidos, em que aparece a frequência natural \omega_{0} e a frequência amortecida \omega_{d}.

Passo 2

No circuito ideal sem resistor, a frequência natural (angular) é
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.

Passo 3

Com amortecimento fraco R<2\sqrt{L/C}, a frequência de oscilação do circuito é
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\Bigl(\frac{R}{2L}\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Impondo que \omega_{d}=\omega_{0}/2, elevamos ao quadrado e isolamos R:
\omega_{0}^{2}-\Bigl(\tfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}=\frac{\omega_{0}^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\tfrac{R}{2L}\Bigr)^{2}=\frac{3\,\omega_{0}^{2}}{4} \quad\Longrightarrow\quad R=\sqrt{3}\,\omega_{0}\,L.

Passo 5

Substituindo \omega_{0}=1/\sqrt{L\,C} em R=\sqrt{3}\,\omega_{0}\,L, vem
R=\sqrt{3}\,L\;\frac{1}{\sqrt{L\,C}} =\sqrt{\frac{3\,L}{C}}.

Resposta

R=\sqrt{\frac{3\,L}{C}}.

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