QUESTÃO 1 (2,0 pontos): A distribuiçio de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre phacas paralelas é dada por:
\frac{u}{u_{\max }}=1-\left(\frac{2 y}{h}\right)^{2}
Onde hé a distância entre as duas placas; a origem é colocada na linha mediana entre as placas. Considere o escoamento de água a 15^{\circ} \mathrm{C}, com velocidade máxima de 0,05 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \mathrm{h}=0,5 \mathrm{~mm}. Calcule:
a) (1,0) A tensão cisalhante na placa superior;
b) (1,0) \mathrm{A} vazăio mássica por unidade de largura das placas.

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade para o escoamento laminar desenvolvido entre placas paralelas, com
u(y)=u_{\max}\Bigl[1-\Bigl(\tfrac{2y}{h}\Bigr)^{2}\Bigr],
onde a distância entre as placas é h, a origem y=0 está no centro, e o fluido é água a 15^\circ\mathrm C com \,u_{\max}=0,05,m/s e h=0,5,mm.
Queremos:
a) a tensão de cisalhamento na placa superior;
b) a vazão mássica por unidade de largura.
Para isso vamos usar \tau=\mu\,\frac{du}{dy} e \dot m'=\rho\int_{-h/2}^{h/2}u\,dy.

Passo 2

Derivando o perfil para obter a taxa de deformação:
\frac{du}{dy} =\;u_{\max}\,\frac{d}{dy}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{2y}{h}\bigr)^2\Bigr] =-u_{\max}\,\frac{8y}{h^2}.

Passo 3

Na placa superior y=+h/2,
\left.\frac{du}{dy}\right|_{y=h/2} =-u_{\max}\,\frac{8(h/2)}{h^2} =-\frac{4\,u_{\max}}{h}.
Logo, como para água a 15^\circ\mathrm C usa-se \mu\approx1,14\times10^{-3},P a\cdot s,
\tau_w =\mu\Bigl|\frac{du}{dy}\Bigr| =\frac{4\,\mu\,u_{\max}}{h} =\frac{4\cdot(1,14\times10^{-3})\cdot0,05}{5\times10^{-4}} \approx0,456\;\mathrm{Pa}.

Passo 4

A vazão volumétrica por unidade de largura é
Q' =\int_{-h/2}^{h/2}u(y)\,dy =u_{\max}\int_{-h/2}^{h/2}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{2y}{h}\bigr)^2\Bigr]dy =u_{\max}\Bigl[h-\tfrac{h}{3}\Bigr] =\frac{2\,u_{\max}\,h}{3}.
Substituindo u_{\max}=0,05,m/s e h=5\times10^{-4},m,
Q'=\frac{2\cdot0,05\cdot5\times10^{-4}}{3} \approx1,67\times10^{-5}\;\mathrm{m^2/s}.

Passo 5

Para obter a vazão mássica por largura, multiplica-se pela densidade da água \rho\approx999,kg/ m^{3}:
\dot m' =\rho\,Q' =999\cdot1,67\times10^{-5} \approx0,0167\;\mathrm{kg/(s\cdot m)}.

Resposta

(a) \tau_w\approx0,456\;\mathrm{Pa}.
(b) \dot m'\approx0,0167\;\mathrm{kg/(s\cdot m)}.

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