A resistência total R de três resistores R_{1}, R_{2} e R_{3} ligados em paralelo, é dada por \frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}+\frac{1}{R_{3}}.
a) Se as medidas dos três resistores são 200 , 250 e 400 ohms, respectivamente, com erro máximo de \pm 1 \% em todas as medidas, estime, usando aproximação linear, o erro máximo no valor calculado de R.
b) Use derivação implícita para mostrar que \frac{\partial R}{\partial R_{1}}=\left(\frac{R}{R_{1}}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de resistores em paralelo, cuja resistência equivalente R satisfaz
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}.
Na parte (a) queremos estimar, por aproximação linear, o erro máximo em R dado erro de \pm1\% em cada R_{i}. Para isso usaremos diferenciais parciais e a fórmula
dR \approx \frac{\partial R}{\partial R_{1}}\,dR_{1} + \frac{\partial R}{\partial R_{2}}\,dR_{2} + \frac{\partial R}{\partial R_{3}}\,dR_{3}.
Na parte (b) devemos usar derivação implícita para obter \partial R/\partial R_{1}=(R/R_{1})^{2}.

Passo 2

Derivação implícita para \partial R/\partial R_{1}. Partimos de
\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}.
Derivando ambos os lados em relação a R_{1} (mantendo R_{2},R_{3} constantes) temos
\frac{d}{dR_{1}}\Bigl(\frac{1}{R}\Bigr) = \frac{d}{dR_{1}}\Bigl(\frac{1}{R_{1}}\Bigr) \;\Longrightarrow\; -\frac{1}{R^{2}}\;\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = -\frac{1}{R_{1}^{2}}.
Isolando \partial R/\partial R_{1} obtemos
\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \frac{R^{2}}{R_{1}^{2}} = \Bigl(\frac{R}{R_{1}}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Cálculo numérico de R. Com R_{1}=200\\ \Omega, R_{2}=250\\ \Omega, R_{3}=400\\ \Omega:
\frac{1}{R} = \frac{1}{200} + \frac{1}{250} + \frac{1}{400} = 0{,}005 + 0{,}004 + 0{,}0025 = 0{,}0115 \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{1}{0{,}0115}\approx 86{,}9565\\ \Omega.

Passo 4

Estimativa do erro máximo. Cada R_{i} tem erro máximo \lvert dR_{i}\rvert=0{,}01\,R_{i}. Como \partial R/\partial R_{i}=(R/R_{i})^{2}>0, o erro máximo em R é
\lvert dR\rvert \approx \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial R}{\partial R_{i}}\;\lvert dR_{i}\rvert = \sum_{i=1}^{3} \Bigl(\frac{R}{R_{i}}\Bigr)^{2}\;(0{,}01\,R_{i}) = 0{,}01\,R^{2}\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{R_{i}}.
Mas \sum 1/R_{i}=1/R, logo
\lvert dR\rvert = 0{,}01\,R^{2}\,\frac{1}{R} = 0{,}01\,R \approx 0{,}01\times 86{,}9565 \approx 0{,}8696\\ \Omega.

Passo 5

Resumo das respostas:

Resposta

a) O erro máximo em R é aproximadamente \pm 0{,}87\\ \Omega.
b) Pela derivação implícita encontra-se
\frac{\partial R}{\partial R_{1}} = \Bigl(\frac{R}{R_{1}}\Bigr)^{2}.

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