Questão 2: ( 3,0 pontos)
Dois tanques
e
estão inicialmente isolados através de uma válvula. O tanque
contém
de ar à pressão absoluta de 100 kPa e temperatura de
. O tanque B contém uma mistura de
e
com
de
a
e pressão absoluta de 250 kPa. A válvula é então aberta, permitindo que os dois tanques se misturem. Após a homogeneização, determinou-se que o gás continha
de
. Calcule o volume do tanque B .
Dado: Gás ideal:
e
Dois tanques
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Também faço uma suposição necessária sobre a composição do ar no tanque
(essa suposição é padrão em muitos exercícios e é necessária para resolver o problema).
Dados fornecidos:
-
Tanque
: - Volume
. - Pressão absoluta
. - Temperatura
. - Contém ar (assume‑se composição do ar por mol:
de e de ). Ou seja, fração molar de em : .
- Volume
-
Tanque
: - Volume
(desconhecido — é o que pedem para calcular). - Pressão absoluta
. - Temperatura
. - Mistura com
de (fração molar em : ).
- Volume
-
Após abrir a válvula e homogenizar, a mistura final contém
de (fração molar final ).
O que o enunciado pede:
- Calcular o volume do tanque
, isto é .
Observação: adoto a convenção de porcentagens como frações molares (mol%), o que é natural ao tratar misturas de gases ideais.
Passo 2
Revisão do conceito físico e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Lei dos gases ideais: para um gás ideal
onde
é a pressão absoluta,
é o volume ocupado,
é o número de mols,
é a constante universal dos gases e
é a temperatura absoluta em kelvin. Aqui
é o volume do sistema inteiro (não volume molar).
- Assim, o número de mols em cada tanque é dado por:
Explicação das variáveis:
e
são os mols totais de mistura nos tanques
e
.
cancelará mais adiante, então seu valor numérico não será necessário.
-
Fração molar (por exemplo para
): se em um tanque a fração molar de for , então o número de mols de naquele tanque é vezes o número total de mols do tanque. -
Conservação de mols ao misturar (não há reação química): o número total de mols de
após abertura é a soma das quantidades de que havia em e em . A fração molar final é então razão entre os mols totais de e o número total de mols da mistura.
Passo 3
Escrever a equação da conservação da fração molar de
após mistura.
Mols de
em
:
.
Mols de em
:
.
Mols totais após mistura: .
Mols de
Mols totais após mistura:
Fração molar final
satisfaz:
Queremos isolar
. Primeiro vamos manipular essa equação para obter uma relação entre
e
.
Passo 4
Algebra para relacionar
e
.
Partindo de
expandindo:
Agrupando termos com
de um lado e com
do outro:
Fatorando:
Logo
Esta fórmula dá o número de mols em
em função de
e das frações molares conhecidas.
Passo 5
Substituir os valores das frações molares.
Temos
(assunção padrão para ar),
e
. Portanto
Conclusão importante: com a suposição
, obtemos
. Ou seja, os dois tanques têm o mesmo número de mols antes de misturar.
Passo 6
Usar a lei dos gases ideais para relacionar
e
a partir de
.
Como
a condição
dá
Cancelando
e isolando
:
Esta expressão é intuitiva: para ter o mesmo número de mols com pressões e temperaturas diferentes, o volume deve ajustar-se proporcionalmente.
Passo 7
Substituir os valores numéricos e calcular
.
Valores:
Portanto
Arredondando com coerência aos dados (duas casas significativas nos percentuais e três no volume dado de
), podemos dar
.
Passo 8
Cheque rápido de razoabilidade:
menor que
faz sentido porque
é maior que
(250 kPa contra 100 kPa) — para igual número de mols, o volume de
precisa ser menor; a temperatura mais alta em
aumenta o volume necessário, mas não o suficiente para superar o efeito da pressão. O valor encontrado
é consistente com esses efeitos.