Questão 2: ( 3,0 pontos)
Dois tanques A e B estão inicialmente isolados através de uma válvula. O tanque A contém 3,0 \mathrm{~m}^{3} de ar à pressão absoluta de 100 kPa e temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}. O tanque B contém uma mistura de \mathrm{N}_{2} e \mathrm{O}_{2} com 75,0 \% de \mathrm{N}_{2} a 80^{\circ} \mathrm{C} e pressão absoluta de 250 kPa. A válvula é então aberta, permitindo que os dois tanques se misturem. Após a homogeneização, determinou-se que o gás continha 77,0 \% de \mathrm{N}_{2}. Calcule o volume do tanque B .
Dado: Gás ideal: p v=n R T e R=8,314 \mathrm{~Pa} \cdot \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede. Também faço uma suposição necessária sobre a composição do ar no tanque A (essa suposição é padrão em muitos exercícios e é necessária para resolver o problema).
Dados fornecidos:
  • Tanque A:
    • Volume V_A = 3,0\\ \mathrm{m}^3.
    • Pressão absoluta p_A = 100\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura T_A = 40^\circ\mathrm{C} = 313,15\\ \mathrm{K}.
    • Contém ar (assume‑se composição do ar por mol: 79,0\% de \mathrm{N}_2 e 21,0\% de \mathrm{O}_2). Ou seja, fração molar de \mathrm{N}_2 em A: x_A = 0,79.
  • Tanque B:
    • Volume V_B (desconhecido — é o que pedem para calcular).
    • Pressão absoluta p_B = 250\\ \mathrm{kPa}.
    • Temperatura T_B = 80^\circ\mathrm{C} = 353,15\\ \mathrm{K}.
    • Mistura com 75{,}0\% de \mathrm{N}_2 (fração molar em B: x_B = 0,75).
  • Após abrir a válvula e homogenizar, a mistura final contém 77{,}0\% de \mathrm{N}_2 (fração molar final x_f = 0,77).
O que o enunciado pede:
  • Calcular o volume do tanque B, isto é V_B.
Observação: adoto a convenção de porcentagens como frações molares (mol%), o que é natural ao tratar misturas de gases ideais.

Passo 2

Revisão do conceito físico e fórmulas que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Lei dos gases ideais: para um gás ideal
p v = n R T,
onde p é a pressão absoluta, v é o volume ocupado, n é o número de mols, R é a constante universal dos gases e T é a temperatura absoluta em kelvin. Aqui v é o volume do sistema inteiro (não volume molar).
  • Assim, o número de mols em cada tanque é dado por:
n_A=\frac{p_A V_A}{R T_A},\qquad n_B=\frac{p_B V_B}{R T_B}.
Explicação das variáveis: n_A e n_B são os mols totais de mistura nos tanques A e B. R cancelará mais adiante, então seu valor numérico não será necessário.
  • Fração molar (por exemplo para \mathrm{N}_2): se em um tanque a fração molar de \mathrm{N}_2 for x, então o número de mols de \mathrm{N}_2 naquele tanque é x vezes o número total de mols do tanque.
  • Conservação de mols ao misturar (não há reação química): o número total de mols de \mathrm{N}_2 após abertura é a soma das quantidades de \mathrm{N}_2 que havia em A e em B. A fração molar final é então razão entre os mols totais de \mathrm{N}_2 e o número total de mols da mistura.

Passo 3

Escrever a equação da conservação da fração molar de \mathrm{N}_2 após mistura.
Mols de \mathrm{N}_2 em A: x_A n_A.
Mols de \mathrm{N}_2 em B: x_B n_B.
Mols totais após mistura: n_A + n_B.
Fração molar final x_f satisfaz:
x_f = \frac{x_A n_A + x_B n_B}{n_A + n_B}.
Queremos isolar V_B. Primeiro vamos manipular essa equação para obter uma relação entre n_B e n_A.

Passo 4

Algebra para relacionar n_B e n_A.
Partindo de
x_f (n_A + n_B) = x_A n_A + x_B n_B,
expandindo:
x_f n_A + x_f n_B = x_A n_A + x_B n_B.
Agrupando termos com n_B de um lado e com n_A do outro:
x_f n_B - x_B n_B = x_A n_A - x_f n_A.
Fatorando:
(x_f - x_B)\,n_B = (x_A - x_f)\,n_A.
Logo
n_B = \frac{x_A - x_f}{x_f - x_B}\; n_A.
Esta fórmula dá o número de mols em B em função de n_A e das frações molares conhecidas.

Passo 5

Substituir os valores das frações molares.
Temos x_A = 0,79 (assunção padrão para ar), x_B = 0,75 e x_f = 0,77. Portanto
n_B = \frac{0,79 - 0,77}{0,77 - 0,75}\; n_A = \frac{0,02}{0,02}\; n_A = 1\cdot n_A.
Conclusão importante: com a suposição x_A=0,79, obtemos n_B = n_A. Ou seja, os dois tanques têm o mesmo número de mols antes de misturar.

Passo 6

Usar a lei dos gases ideais para relacionar V_B e V_A a partir de n_B = n_A.
Como
n_A=\frac{p_A V_A}{R T_A},\qquad n_B=\frac{p_B V_B}{R T_B},
a condição n_B = n_A
\frac{p_B V_B}{R T_B} = \frac{p_A V_A}{R T_A}.
Cancelando R e isolando V_B:
V_B = V_A \cdot \frac{p_A}{p_B} \cdot \frac{T_B}{T_A}.
Esta expressão é intuitiva: para ter o mesmo número de mols com pressões e temperaturas diferentes, o volume deve ajustar-se proporcionalmente.

Passo 7

Substituir os valores numéricos e calcular V_B.
Valores:
V_A = 3,0\\ \mathrm{m}^3,\quad \frac{p_A}{p_B}=\frac{100}{250}=0,4,\quad \frac{T_B}{T_A}=\frac{353,15}{313,15}\approx 1,12786.
Portanto
V_B = 3,0\cdot 0,4\cdot 1,12786 \approx 3,0\cdot 0,451144 \approx 1,35343\\ \mathrm{m}^3.
Arredondando com coerência aos dados (duas casas significativas nos percentuais e três no volume dado de A), podemos dar V_B \approx 1,35\\ \mathrm{m}^3.

Passo 8

Cheque rápido de razoabilidade: V_B menor que V_A faz sentido porque p_B é maior que p_A (250 kPa contra 100 kPa) — para igual número de mols, o volume de B precisa ser menor; a temperatura mais alta em B aumenta o volume necessário, mas não o suficiente para superar o efeito da pressão. O valor encontrado 1,35\\ \mathrm{m}^3 é consistente com esses efeitos.

Resposta

V_B = 1,35\\ \mathrm{m}^3

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