3. (vale 1,0 ponto)

Calcule o calor de reação a 500^{\circ} \mathrm{C} para a decomposição de propano.
\mathrm{C}_{3} \mathrm{H}_{8} \longrightarrow \mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{2}+\mathrm{CH}_{4}+\mathrm{H}_{2}

Passo 1

O enunciado pede o calor (entalpia) de reação a 500^\circ\mathrm{C} para a decomposição
\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8 \longrightarrow \mathrm{C}_2\mathrm{H}_2 + \mathrm{CH}_4 + \mathrm{H}_2.
Informações dadas:
  • A reação química entre as espécies foi fornecida.
  • Não foram fornecidos valores numéricos de \Delta H_f^\circ (entalpias padrão de formação) nem capacidades caloríficas C_p; portanto será preciso usar valores tabulados para esses dados.
    As perguntas implícitas:
  • Calcular \Delta H_{\text{rxn}} à temperatura 500^\circ\mathrm{C} (ou seja, a T=500+273=773\\ \mathrm{K}).

Passo 2

Estratégia (passo-a-passo do que vamos fazer; será explicado didaticamente):
  1. Calcular primeiro \Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298\\ \mathrm{K}) usando entalpias padrão de formação: \Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298) = \sum (\nu\,\Delta H_f^\circ)_{\text{produtos}} - \sum (\nu\,\Delta H_f^\circ)_{\text{reagentes}},onde cada \nu é o coeficiente estequiométrico (aqui todos são 1).
    • Explicando: \Delta H_f^\circ é a entalpia para formar 1 mol da substância a 298\\ \mathrm{K} a partir dos elementos em seu estado padrão. A entalpia da reação em condições padrão é a soma algébrica das entalpias de formação dos produtos menos a dos reagentes.
  2. Ajustar essa entalpia de 298\\ \mathrm{K} para 773\\ \mathrm{K} usando a Lei de Kirchhoff: \Delta H_{\text{rxn}}(T_2)=\Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298)+\int_{298}^{T_2}\Delta C_p(T)\,\mathrm{d}T,onde \Delta C_p(T)=\sum (\nu\,C_p)_{\text{produtos}}-\sum (\nu\,C_p)_{\text{reagentes}}.
    • Explicando: C_p é a capacidade térmica molar a pressão constante (unidade usual \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}). A diferença de C_p entre produtos e reagentes, integrada de 298 K até a temperatura desejada, dá a correção da entalpia com a temperatura.
  3. Como os coeficientes e funções C_p(T) completas não foram fornecidos no enunciado, vou usar valores tabulados médios de C_p (média no intervalo 298 773\\ \mathrm{K}) retirados de tabelas padrão (valores aproximados, bastante usados em exercícios). Vou explicitar esses valores e mostrar os cálculos, lembrando que esse procedimento dá uma boa aproximação.

Passo 3

Calcular \Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298\\ \mathrm{K}) usando entalpias padrão de formação (valores tabulados, em \mathrm{kJ\,mol^{-1}}):
  • Vou usar os valores usuais de tabela:
    • \Delta H_f^\circ\big(\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8,\;g\big) = -103{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
    • \Delta H_f^\circ\big(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2,\;g\big) = +226{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
    • \Delta H_f^\circ\big(\mathrm{CH}_4,\;g\big) = -74{,}8\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
    • \Delta H_f^\circ\big(\mathrm{H}_2,\;g\big) = 0{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
      (Observação: esses números são valores tabelados padrão; estou declarando explicitamente que os usei.)
      Aplicando a fórmula:
\Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298) = \big[226{,}7 + (-74{,}8) + 0{,}0\big] - \big[-103{,}8\big].
Calcule passo a passo:
226{,}7 - 74{,}8 = 151{,}9\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}},
151{,}9 - (-103{,}8) = 151{,}9 + 103{,}8 = 255{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Portanto
\Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298) = +255{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Interpretação rápida: o valor positivo indica que, a 298\\ \mathrm{K}, a decomposição é endotérmica (absorve calor).

Passo 4

Agora vamos corrigir para T_2=500^\circ\mathrm{C}=773\\ \mathrm{K} pela Lei de Kirchhoff.
Primeiro, transformamos as capacidades caloríficas médias (valores aproximados, tomados de tabelas padrão e aqui usados como médias no intervalo 298 773\\ \mathrm{K}, em \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}):
  • C_p\big(\mathrm{C}_2\mathrm{H}_2\big) \approx 51\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • C_p\big(\mathrm{CH}_4\big) \approx 47\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • C_p\big(\mathrm{H}_2\big) \approx 29\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • C_p\big(\mathrm{C}_3\mathrm{H}_8\big) \approx 97\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
(Declaração: estes C_p são valores médios aproximados, retirados de tabelas padrão; usei médias porque as leis exatas C_p(T) não foram fornecidas no enunciado.)
Calcular a diferença de capacidades caloríficas:
\Delta C_p = \big[51 + 47 + 29\big] - \big[97\big] = 127 - 97 = 30\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Explicando: soma-se os C_p molares dos produtos e subtrai-se o do reagente.
Agora integramos assumindo \Delta C_p aproximadamente constante (aproximação razoável para cálculo rápido):
\int_{298}^{773} \Delta C_p\,\mathrm{d}T \approx \Delta C_p \times (773-298).
Calcule a diferença de temperaturas:
773-298 = 475\\ \mathrm{K}.
Portanto a correção em energia por mol é
\Delta H_{\text{corr}} = \Delta C_p \times 475 = 30\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}} \times 475\\ \mathrm{K} = 14250\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Converter para \mathrm{kJ\,mol^{-1}}:
14250\\ \mathrm{J\,mol^{-1}} = 14{,}25\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.

Passo 5

Somar a correção ao valor padrão de 298\\ \mathrm{K}:
\Delta H_{\text{rxn}}(773\\ \mathrm{K}) = \Delta H_{\text{rxn}}^\circ(298) + \Delta H_{\text{corr}} = 255{,}7\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} + 14{,}25\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
\Delta H_{\text{rxn}}(773\\ \mathrm{K}) = 269{,}95\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}} \approx 270{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}.
Comentário final (didático e de interpretação): o valor final positivo significa que a decomposição do propano nas condições dadas é endotérmica; para cada mol de \mathrm{C}_3\mathrm{H}_8 convertido nos produtos listados é necessária cerca de 270\\ \mathrm{kJ} de calor a 500^\circ\mathrm{C}. A aproximação principal aqui vem do uso de C_p médios — com funções C_p(T) detalhadas a integração daria um valor ligeiramente diferente, mas a ordem de grandeza e a conclusão (endotérmico, ~ 2{,}7\times10^2\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}) se mantêm.

Resposta

\displaystyle \Delta H_{\text{rxn}}\big(500^\circ\mathrm{C}\big)\approx +270{,}0\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}

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