Questão 3: (3,0 pontos)
Duas correntes escoam para um tanque de 500 galōes. A primeira corrente tem
em massa de etanol e
de hexano e densidade da mistura é
. A segunda corrente contém
de etanol e
de hexano e a densidade dessa mistura é
. Após o enchimento do tanque, o que leva 22 minutos, uma analise de seu conteudo indica que a mistura tem
em massa de etanol e
em massa de hexano. Estime o valor da densidade da mistura final
. Dade: 1 gallo
.
Duas correntes escoam para um tanque de 500 galōes. A primeira corrente tem
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para estimar a densidade da mistura final:
- Tanque com volume total
galões. - Conversão fornecida:
gallão L. - A primeira corrente (corrente 1) tem
em massa de etanol e em massa de hexano e densidade da mistura . - A segunda corrente (corrente 2) tem
em massa de etanol e em massa de hexano e densidade da mistura . - O enchimento do tanque levou
minutos (tempo dado, mas sem taxas explícitas). - Após o enchimento, a mistura no tanque tem
em massa de etanol e em massa de hexano. - Objetivo: estimar a densidade da mistura final
.
Informações numéricas relevantes que vou usar explicitamente (pegas do enunciado):
-
. -
. - Frações em massa nas correntes: corrente 1: etanol
, hexano ; corrente 2: etanol , hexano . - Fração em massa final: etanol
, hexano . - Volume total do tanque:
galões (conversão disponível se precisar).
Passo 2
Ideia física e modelagem (aula prática, sem pular etapas):
- Fração em massa significa: se uma corrente tem massa total
, a massa de etanol é fração_etanol e a massa de hexano é fração_hexano . - Conservação da massa para cada componente: massa total de etanol que entra (soma das duas correntes) é igual à massa de etanol final no tanque; o mesmo para o hexano. Aqui usamos a equação para etanol (uma componente é suficiente porque as frações somam 1).
- Denotando
a massa total que veio pela corrente 1 e a massa total que veio pela corrente 2, a equação de balanço de massa para o etanol é:
- Relação massa–volume: a massa de cada corrente é a densidade da corrente vezes o volume que essa corrente aportou:
- O volume total do tanque é
(sabemos mas, como veremos, a densidade final pode ser obtida sem precisar das vazões individuais). - A densidade final
é a massa total sobre o volume total:
Vou usar essas ideias para montar as equações e resolver para
.
Passo 3
Resolver o balanço de etanol para obter a relação entre
e
.
Começando por
Desenvolvendo o lado direito:
Transportando termos semelhantes para um lado:
Isolando
em função de
:
Portanto a razão das massas é
Passo 4
Expressar
e
em termos da massa total
.
Usando
, temos
Assim
Ou seja, das massas totais presentes no tanque,
vêm da corrente 1 e
vêm da corrente 2.
Passo 5
Relacionar massas com volumes e densidades para obter
.
Sabendo que
e
e que
e
, podemos escrever o volume total em função da massa total:
Substituindo
e
:
Daí a densidade média final é
Observação importante (útil para a prova): esta expressão não depende do volume total nem do tempo de enchimento — apenas das densidades das correntes e das proporções de massa resultantes do balanço de componentes. Isso simplifica muito o cálculo.
Passo 6
Calcular numericamente
usando
e
.
Calculemos os termos intermediários:
Somando:
Portanto
Arredondando de forma prática para a prova (3 algarismos significativos):
Para ter uma ideia em unidades mais comuns em engenharia, em
(sabendo que
):