Questão 3: (3,0 pontos)
Duas correntes escoam para um tanque de 500 galōes. A primeira corrente tem 10 \% em massa de etanol e 90 \% de hexano e densidade da mistura é \rho_{1}=0,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. A segunda corrente contém 90 \% de etanol e 10 \% de hexano e a densidade dessa mistura é \beta_{2}=0,78 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Após o enchimento do tanque, o que leva 22 minutos, uma analise de seu conteudo indica que a mistura tem 60 \% em massa de etanol e 40 \% em massa de hexano. Estime o valor da densidade da mistura final \beta_{3}. Dade: 1 gallo =3.785 \mathrm{~L}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para estimar a densidade da mistura final:
  • Tanque com volume total 500 galões.
  • Conversão fornecida: 1 gallão =3,785 L.
  • A primeira corrente (corrente 1) tem 10\% em massa de etanol e 90\% em massa de hexano e densidade da mistura \rho_{1}=0,68\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • A segunda corrente (corrente 2) tem 90\% em massa de etanol e 10\% em massa de hexano e densidade da mistura \rho_{2}=0,78\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • O enchimento do tanque levou 22 minutos (tempo dado, mas sem taxas explícitas).
  • Após o enchimento, a mistura no tanque tem 60\% em massa de etanol e 40\% em massa de hexano.
  • Objetivo: estimar a densidade da mistura final \rho_{3}.
Informações numéricas relevantes que vou usar explicitamente (pegas do enunciado):
  • \rho_{1}=0,68\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • \rho_{2}=0,78\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Frações em massa nas correntes: corrente 1: etanol 0,10, hexano 0,90; corrente 2: etanol 0,90, hexano 0,10.
  • Fração em massa final: etanol 0,60, hexano 0,40.
  • Volume total do tanque: 500 galões (conversão disponível se precisar).

Passo 2

Ideia física e modelagem (aula prática, sem pular etapas):
  • Fração em massa significa: se uma corrente tem massa total M, a massa de etanol é fração_etanol \times M e a massa de hexano é fração_hexano \times M.
  • Conservação da massa para cada componente: massa total de etanol que entra (soma das duas correntes) é igual à massa de etanol final no tanque; o mesmo para o hexano. Aqui usamos a equação para etanol (uma componente é suficiente porque as frações somam 1).
  • Denotando M_1 a massa total que veio pela corrente 1 e M_2 a massa total que veio pela corrente 2, a equação de balanço de massa para o etanol é:
0,10\,M_1 + 0,90\,M_2 = 0,60\,(M_1+M_2).
  • Relação massa–volume: a massa de cada corrente é a densidade da corrente vezes o volume que essa corrente aportou:
M_1=\rho_{1} V_1,\qquad M_2=\rho_{2} V_2.
  • O volume total do tanque é V = V_1+V_2 (sabemos V mas, como veremos, a densidade final pode ser obtida sem precisar das vazões individuais).
  • A densidade final \rho_{3} é a massa total sobre o volume total:
\rho_{3}=\frac{M_1+M_2}{V_1+V_2}.
Vou usar essas ideias para montar as equações e resolver para \rho_{3}.

Passo 3

Resolver o balanço de etanol para obter a relação entre M_1 e M_2.
Começando por
0,10\,M_1 + 0,90\,M_2 = 0,60\,(M_1+M_2).
Desenvolvendo o lado direito:
0,10\,M_1 + 0,90\,M_2 = 0,60\,M_1 + 0,60\,M_2.
Transportando termos semelhantes para um lado:
0,10\,M_1 - 0,60\,M_1 + 0,90\,M_2 - 0,60\,M_2 = 0,
-0,50\,M_1 + 0,30\,M_2 = 0.
Isolando M_2 em função de M_1:
0,30\,M_2 = 0,50\,M_1 \quad\Rightarrow\quad M_2 = \frac{0,50}{0,30}\,M_1 = \frac{5}{3}\,M_1.
Portanto a razão das massas é
\frac{M_2}{M_1}=\frac{5}{3}\approx 1,666\ldots

Passo 4

Expressar M_1 e M_2 em termos da massa total M=M_1+M_2.
Usando M_2=\tfrac{5}{3}M_1, temos
M = M_1 + M_2 = M_1\left(1+\frac{5}{3}\right)=M_1\frac{8}{3}.
Assim
M_1 = \frac{3}{8}\,M,\qquad M_2 = \frac{5}{8}\,M.
Ou seja, das massas totais presentes no tanque, 3/8 vêm da corrente 1 e 5/8 vêm da corrente 2.

Passo 5

Relacionar massas com volumes e densidades para obter \rho_{3}.
Sabendo que M_1=\rho_{1}V_1 e M_2=\rho_{2}V_2 e que V=V_1+V_2 e M=M_1+M_2, podemos escrever o volume total em função da massa total:
V = V_1+V_2 = \frac{M_1}{\rho_{1}}+\frac{M_2}{\rho_{2}}.
Substituindo M_1=\dfrac{3}{8}M e M_2=\dfrac{5}{8}M:
V = M\left(\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{1}} + \frac{5}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{2}}\right).
Daí a densidade média final é
\rho_{3}=\frac{M}{V}=\frac{1}{\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{\rho_{1}}+\dfrac{5}{8}\cdot\dfrac{1}{\rho_{2}}}.
Observação importante (útil para a prova): esta expressão não depende do volume total nem do tempo de enchimento — apenas das densidades das correntes e das proporções de massa resultantes do balanço de componentes. Isso simplifica muito o cálculo.

Passo 6

Calcular numericamente \rho_{3} usando \rho_{1}=0,68\\ \mathrm{g/cm^{3}} e \rho_{2}=0,78\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Calculemos os termos intermediários:
\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{1}}=\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{0,68}=\frac{3}{5,44}\approx 0,5514705882,
\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{2}}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{0,78}=\frac{5}{6,24}\approx 0,8012820513.
Somando:
\frac{3}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{1}}+\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{\rho_{2}}\approx 0,5514705882+0,8012820513=1,3527526395.
Portanto
\rho_{3}=\frac{1}{1,3527526395}\approx 0,739477\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando de forma prática para a prova (3 algarismos significativos):
\rho_{3}\approx 0,739\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Para ter uma ideia em unidades mais comuns em engenharia, em \mathrm{kg/m^{3}} (sabendo que 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):
\rho_{3}\approx 739\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Resposta

0,739\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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