Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
a) Sob o paraboloide z=x^{2}+y^{2} e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 25
b) Abaixo do plano 2 x+y+z=4 e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 1
c) Uma esfera de raio a

Passo 1

O enunciado pede o volume dos sólidos descritos em três itens. As informações dadas são:
  • (a) Sólido “sob o paraboloide” z=x^{2}+y^{2} e “acima do disco” x^{2}+y^{2}\leq 25.
  • (b) Sólido “abaixo do plano” 2x+y+z=4 e “acima do disco” x^{2}+y^{2}\leq 1.
  • (c) Uma esfera de raio a (ou seja, o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}).
O que nos pedem em cada item é calcular o volume do sólido correspondente.

Passo 2

Vamos lembrar a ferramenta que o enunciado exige: coordenadas polares (no plano xy). Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z (distância ao ponto (0,0) no plano) e \theta é o ângulo. A área elementar dA no plano vira
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do r: quando transformamos a malha retangular dr\times d\theta para uma pequena área no plano, essa área vale aproximadamente r\,dr\,d\theta (é o jacobiano da transformação). Para volumes de sólidos entre duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) sobre uma região D no plano, usamos
V=\iint_{D}\big(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\big)\,dA,
e em polares isso vira
V=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta_2}\int_{r=r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}\big(z_{\text{top}}(r,\theta)-z_{\text{bot}}(r,\theta)\big)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 3

No item (a) a região no plano é o disco x^{2}+y^{2}\leq 25. Em polares isso é 0\le r\le 5 e 0\le\theta\le 2\pi.
A superfície superior é o paraboloide z=x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares isso é
z=r^{2}.
A superfície inferior (o “acima do disco”) é o plano z=0 (o disco está no plano z=0). Portanto o “espessamento” vertical é z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}=r^{2}-0=r^{2}.

Passo 4

Montamos a integral para o volume:
V_{a}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{5} r^{3}\,dr\,d\theta.
Calcule a integral interna:
\int_{0}^{5} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{5}=\frac{5^{4}}{4}=\frac{625}{4}.
Agora a integral em \theta:
V_{a}=\int_{0}^{2\pi}\frac{625}{4}\,d\theta=\frac{625}{4}\cdot 2\pi=\frac{625\pi}{2}.

Passo 5

No item (b) a região no plano é o disco x^{2}+y^{2}\leq 1. Em polares: 0\le r\le 1, 0\le\theta\le 2\pi.
O plano dado é 2x+y+z=4. Isolando z,
z=4-2x-y.
Em polares substituímos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, então o teto vale
z_{\text{top}}(r,\theta)=4-2r\cos\theta-r\sin\theta.
A superfície “abaixo do plano e acima do disco” pressupõe que a face inferior é z=0 (o disco está no plano z=0). Assim a altura é z_{\text{top}}-0=z_{\text{top}}.

Passo 6

O volume é
V_{b}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(4-2r\cos\theta-r\sin\theta\big)\,r\,dr\,d\theta.
Distribuindo o r:
V_{b}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\big(4r-2r^{2}\cos\theta-r^{2}\sin\theta\big)\,dr\,d\theta.
Podemos separar em três integrais. Note que \cos\theta e \sin\theta não dependem de r, então ao integrar em \theta de 0 a 2\pi temos
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,\qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0.
Portanto os termos com \cos\theta e \sin\theta vão anular ao integrar em \theta. Só fica o termo com 4r:
V_{b}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}4r\,dr\,d\theta.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{1}4r\,dr=\left.2r^{2}\right|_{0}^{1}=2.
Agora em \theta:
V_{b}= \int_{0}^{2\pi} 2\,d\theta = 2\cdot 2\pi = 4\pi.

Passo 7

Para a esfera de raio a temos a região tridimensional dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}.
Em coordenadas polares no plano ( r,\theta) e variável z, para cada r fixo a seção vertical é um segmento de z que vai de
z_{\text{bot}}(r)=-\sqrt{a^{2}-r^{2}}\quad\text{até}\quad z_{\text{top}}(r)=+\sqrt{a^{2}-r^{2}}.é
A região em r vai de 0 a a (porque r^{2}=x^{2}+y^{2}\le a^{2}). O ângulo \theta vai de 0 a 2\pi. A altura para cada r é
z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}=2\sqrt{a^{2}-r^{2}}.
Então montamos a integral de volume usando dA=r\,dr\,d\theta:
V_{c}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} 2\sqrt{a^{2}-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.

Passo 8

Façamos a integral em r. Escrevemos
V_{c}=2\pi\int_{0}^{a} 2r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr =4\pi\int_{0}^{a} r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr.
Use a substituição u=a^{2}-r^{2}. Então du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\frac{1}{2}du.
Os limites: quando r=0 tem u=a^{2}; quando r=a tem u=0. Assim
\int_{0}^{a} r\sqrt{a^{2}-r^{2}}\,dr = \int_{u=a^{2}}^{0} \sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}} u^{1/2}\,du.
Calcule:
\frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}} u^{1/2}\,du = \frac{1}{2}\cdot \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{a^{2}} = \frac{1}{3}(a^{2})^{3/2} = \frac{1}{3}a^{3}.
Portanto
V_{c}=4\pi\cdot\frac{1}{3}a^{3}=\frac{4}{3}\pi a^{3},
que é a fórmula clássica do volume da esfera.

Resposta

\dfrac{625\pi}{2}
4\pi
\dfrac{4}{3}\pi a^{3}

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