Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.
a) Sob o paraboloide z=x^{2}+y^{2} e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 25
b) Abaixo do plano 2 x+y+z=4 e acima do disco x^{2}+y^{2} \leq 1
c) Uma esfera de raio a
Passo 1
O enunciado pede o volume dos sólidos descritos em três itens. As informações dadas são:
(a) Sólido “sob o paraboloide” z=x^{2}+y^{2} e “acima do disco” x^{2}+y^{2}\leq 25.
(b) Sólido “abaixo do plano” 2x+y+z=4 e “acima do disco” x^{2}+y^{2}\leq 1.
(c) Uma esfera de raio a (ou seja, o conjunto de pontos com x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq a^{2}).
O que nos pedem em cada item é calcular o volume do sólido correspondente.
Passo 2
Vamos lembrar a ferramenta que o enunciado exige: coordenadas polares (no plano xy). Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z (distância ao ponto (0,0) no plano) e \theta é o ângulo. A área elementar dA no plano vira
dA = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida do r: quando transformamos a malha retangular dr\times d\theta para uma pequena área no plano, essa área vale aproximadamente r\,dr\,d\theta (é o jacobiano da transformação). Para volumes de sólidos entre duas superfícies z=z_{\text{top}}(x,y) e z=z_{\text{bot}}(x,y) sobre uma região D no plano, usamos
No item (a) a região no plano é o disco x^{2}+y^{2}\leq 25. Em polares isso é 0\le r\le 5 e 0\le\theta\le 2\pi.
A superfície superior é o paraboloide z=x^{2}+y^{2}. Em coordenadas polares isso é
z=r^{2}.
A superfície inferior (o “acima do disco”) é o plano z=0 (o disco está no plano z=0). Portanto o “espessamento” vertical é z_{\text{top}}-z_{\text{bot}}=r^{2}-0=r^{2}.
A superfície “abaixo do plano e acima do disco” pressupõe que a face inferior é z=0 (o disco está no plano z=0). Assim a altura é z_{\text{top}}-0=z_{\text{top}}.
Para a esfera de raio a temos a região tridimensional dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}\le a^{2}.
Em coordenadas polares no plano (r,\theta) e variável z, para cada r fixo a seção vertical é um segmento de z que vai de