Questão 1. ( 6 pontos) Duas curvas são ortogonais se, em cada ponto de interseção suas tangentes são perpendiculares. Mostre que a curva
é ortogonal à curva
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as curvas
e
são ortogonais, isto é, que em cada ponto de interseção as tangentes têm declividades perpendiculares. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter
em cada curva e verificar a condição de ortogonalidade
Passo 2
Para a curva
fazemos derivação implícita em relação a
:
Logo, a declividade da tangente a
em um ponto qualquer é
Passo 3
Para a curva
derivamos implicitamente:
Assim, a declividade da tangente a
é
Passo 4
Se
é ponto de interseção das duas curvas, então nas declividades acima temos
Como o produto das declividades vale
, as tangentes são perpendiculares em todo ponto comum.
Resposta
As curvas
e
são ortogonais, pois em cada ponto de interseção o produto das declividades das tangentes é
.