Questão 1. ( 6 pontos) Duas curvas são ortogonais se, em cada ponto de interseção suas tangentes são perpendiculares. Mostre que a curva x y=5 é ortogonal à curva x^2-y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as curvas
xy = 5
e
x^2-y^2=4
são ortogonais, isto é, que em cada ponto de interseção as tangentes têm declividades perpendiculares. Para isso, vamos usar derivação implícita para obter dy/dx em cada curva e verificar a condição de ortogonalidade
m1,m2=-1

Passo 2

Para a curva xy=5 fazemos derivação implícita em relação a x:
ddx(xy)=ddx(5) ;Longrightarrow; xdydx+y=0 ;Longrightarrow; dydx=-yx
Logo, a declividade da tangente a xy=5 em um ponto qualquer é
m1=-yx

Passo 3

Para a curva x^2-y^2=4 derivamos implicitamente:
ddx(x^2-y^2)=ddx(4) ;Longrightarrow; 2x-2ydydx=0 ;Longrightarrow; dydx=xy
Assim, a declividade da tangente a x^2-y^2=4 é
m2=xy

Passo 4

Se (x,y) é ponto de interseção das duas curvas, então nas declividades acima temos
m1,m2 =l(-yxr)l(xyr) =-1
Como o produto das declividades vale -1, as tangentes são perpendiculares em todo ponto comum.

Resposta

As curvas xy=5 e x^2-y^2=4 são ortogonais, pois em cada ponto de interseção o produto das declividades das tangentes é -1.

Exercícios relacionados