Determine se o conjunto
\left{e^{x}, e^{-x}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções e^x e e^-x são linearmente independentes no intervalo (-infty,infty). O conteúdo necessário é a definição de independência linear em espaço de funções e técnicas básicas de diferenciação.

Passo 2

Duas funções f e g são linearmente independentes se, sempre que existir uma combinação linear
a,f(x) + b,g(x) = 0para todo x,
então necessariamente a=b=0.

Passo 3

Suponha que existam constantes a e b tais que
a,e^x + b,e^-x = 0
para todo x. Diferenciando em relação a x, obtemos
a,e^x - b,e^-x = 0
para todo x.

Passo 4

Avalie as duas equações em
Da segunda,
Resolvendo o sistema
segue que .

Passo 5

Como a única combinação que zera identicamente ambas as funções é a trivial ( a=b=0), concluímos que
e^x, e^-x é linearmente independente em (-infty,infty).

Resposta

O conjunto e^x, e^-x é linearmente independente em (-infty,infty).

Exercícios relacionados