Determine se o conjunto
\left{e^{x}, e^{-x}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right).
\left{e^{x}, e^{-x}\right}
é linearmente independente em
\left(-\infty, \infty\right).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as funções
e
são linearmente independentes no intervalo
. O conteúdo necessário é a definição de independência linear em espaço de funções e técnicas básicas de diferenciação.
Passo 2
Duas funções
e
são linearmente independentes se, sempre que existir uma combinação linear
então necessariamente
.
Passo 3
Suponha que existam constantes
e
tais que
para todo
. Diferenciando em relação a
, obtemos
para todo
.
Passo 4
Avalie as duas equações em
Da segunda,
Resolvendo o sistema
segue que .
Passo 5
Como a única combinação que zera identicamente ambas as funções é a trivial (
), concluímos que
é linearmente independente em
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.