Calcule a integral conforno |z|=2
\oint \frac{2 z}{z^{2}-9} d z

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de linha complexa ao longo do contorno |z|=2 da função \dfrac{2z}{z^{2}-9}. Informações dadas:
  • Contorno: a circunferência |z|=2. Vou assumir a orientação positiva (sentido anti-horário), que é o padrão.
  • Integrando: a função \dfrac{2z}{z^{2}-9}.
  • Nenhuma outra informação (por exemplo sobre orientação) foi dada; portanto uso a orientação positiva por convenção.

Passo 2

Identificar as singularidades da função dentro/fora do contorno. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja resolver \,z^{2}-9=0\.
z^{2}-9=0 \quad\Rightarrow\quad z^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad z=3 \text{ ou } z=-3.
Então os polos são \,z=3 e \,z=-3. Calculo os módulos:
\,|3|=3 e \,|-3|=3. Como a circunferência tem raio 2, temos 3>2, logo ambos os polos estão fora da região interior ao contorno |z|=2.

Passo 3

Explicar o teorema que vou usar e por que ele se aplica. Teorema de Cauchy (forma simples): se f é uma função holomorfa (analítica) em uma região que contém um contorno simples fechado C e seu interior, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 0.
Aqui f(z)=\dfrac{2z}{z^{2}-9} é uma função racional. Como os únicos pontos onde f poderia falhar em ser analítica são os zeros do denominador (os polos em \pm3), e vimos no passo anterior que esses pontos estão fora da bola |z|\le 2, concluímos que f é analítica em todo o interior do contorno |z|=2 e sobre o próprio contorno. Portanto as hipóteses do teorema de Cauchy são satisfeitas.

Passo 4

Aplicação do teorema: como f é analítica no interior e na fronteira de |z|=2, pela forma simples do teorema de Cauchy temos diretamente
\oint_{|z|=2} \frac{2z}{z^{2}-9}\,dz = 0.
Essa é a conclusão principal.

Passo 5

(Aproximação alternativa — via teorema dos resíduos — para reforçar o entendimento) O teorema dos resíduos diz que a integral de f ao longo de um contorno fechado é 2\pi i vezes a soma das residências de f dentro do contorno. Como não há polos dentro de |z|=2, a soma das residências internas é zero, então a integral é 0. Para fixar a ideia, calculo rapidamente as residências nos polos (mesmo estando fora): para um polo simples z_{0},
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\lim_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z).
Para z_{0}=3:
\operatorname{Res}(f,3)=\lim_{z\to3}\frac{(z-3)\,2z}{(z-3)(z+3)}=\frac{2\cdot 3}{3+3}=\frac{6}{6}=1.
Para z_{0}=-3:
\operatorname{Res}(f,-3)=\lim_{z\to-3}\frac{(z+3)\,2z}{(z-3)(z+3)}=\frac{2\cdot(-3)}{-3-3}=\frac{-6}{-6}=1.
Ambas as residências são 1, mas como ambos os polos estão fora da região interior ao contorno, eles não contribuem para a integral sobre |z|=2. Assim, novamente encontramos integral igual a 0.

Resposta

0

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