Calcule a integral conforno
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral de linha complexa ao longo do contorno
da função
. Informações dadas:
- Contorno: a circunferência
. Vou assumir a orientação positiva (sentido anti-horário), que é o padrão. - Integrando: a função
. - Nenhuma outra informação (por exemplo sobre orientação) foi dada; portanto uso a orientação positiva por convenção.
Passo 2
Identificar as singularidades da função dentro/fora do contorno. As singularidades ocorrem onde o denominador é zero, ou seja resolver
Então os polos são
e
. Calculo os módulos:
e
. Como a circunferência tem raio
, temos
, logo ambos os polos estão fora da região interior ao contorno
.
Passo 3
Explicar o teorema que vou usar e por que ele se aplica. Teorema de Cauchy (forma simples): se
é uma função holomorfa (analítica) em uma região que contém um contorno simples fechado
e seu interior, então
Aqui
é uma função racional. Como os únicos pontos onde
poderia falhar em ser analítica são os zeros do denominador (os polos em
), e vimos no passo anterior que esses pontos estão fora da bola
, concluímos que
é analítica em todo o interior do contorno
e sobre o próprio contorno. Portanto as hipóteses do teorema de Cauchy são satisfeitas.
Passo 4
Aplicação do teorema: como
é analítica no interior e na fronteira de
, pela forma simples do teorema de Cauchy temos diretamente
Essa é a conclusão principal.
Passo 5
(Aproximação alternativa — via teorema dos resíduos — para reforçar o entendimento) O teorema dos resíduos diz que a integral de
ao longo de um contorno fechado é
vezes a soma das residências de
dentro do contorno. Como não há polos dentro de
, a soma das residências internas é zero, então a integral é
. Para fixar a ideia, calculo rapidamente as residências nos polos (mesmo estando fora): para um polo simples
,
Para
:
Para
:
Ambas as residências são
, mas como ambos os polos estão fora da região interior ao contorno, eles não contribuem para a integral sobre
. Assim, novamente encontramos integral igual a
.
Resposta
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