Questão 4 (1,5 pontos) Encontre:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(cos x)^1/x^2.
Isso é um caso de forma indeterminada do tipo 1^infty, então vamos usar logaritmo e expansão em série de Taylor para resolver.

Passo 2

Definimos
L = limxto0^+(cos x)^1/x^2
e estudamos o logaritmo de L:
ln L = limxto0^+ln(cos x)x^2

Passo 3

Usamos a expansão em Taylor de cos x em torno de x=0:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Logo,
ln(cos x) = lnl(1 - tfracx^22 + O(x^4)r) = -x^22 + O(x^4)

Passo 4

Substituindo na razão, obtemos
ln(cos x)x^2 = -tfracx^22 + O(x^4)x^2 = -12 + O(x^2)
e portanto
ln L = limxto0^+ln(cos x)x^2 = -12
Elevando e em ambos os lados, vem
L = e^-1/2

Resposta

boxede^-1/2

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