Determinar a solução geral das Equações Diferenciais Lineares Homogêneas de 2^a Ordem a coeficientes constantes (equação Característica), dadas a seguir, pelo método proposto para resolver este tipo de equações.
d^2 yd x^2+2 d yd x+10 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem a coeficientes constantes
d^2yd x^2 + 2,d yd x + 10,y = 0
O método consiste em assumir y=e^m x, obter a equação característica e, a partir de suas raízes, montar a solução geral.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando d^2yd x^2 por m^2, d yd x por m e y por 1:
m^2 + 2,m + 10 = 0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática por Bhaskara:
m = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot102cdot1 = -2 pm raiz-362 = -1 pm 3,i
Aqui as raízes são complexas conjugadas alpha pm beta i com alpha=-1 e beta=3.

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)
Substituindo alpha=-1 e beta=3 obtemos a forma final.

Resposta

y(x) = e^-xl(C1cos(3x) + C2sin(3x)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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