Em cada exercicio, sảo dadas duas séries com aparência semelhante. Teste cada uma para saber se é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty 1raizn^2+1
(b) sumn=1^infty 1n raizn^2+1

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência de duas séries
sumn=1^infty1raizn^2+1 e sumn=1^infty1nraizn^2+1
vamos usar o teste de comparação com séries p, lembrando que
sumn=1^infty1n^p
converge se, e somente se, p>1.

Passo 2

Analisando sumn=1^infty1raizn^2+1:
para n>=1 temos
n^2+1<=2n^2 Longrightarrow raizn^2+1<=raiz2,n Longrightarrow 1raizn^2+1>=1raiz2,n =1raiz2;1n
Como sum1/n é divergente ( p=1), uma série maior ou igual a uma divergente também diverge. Portanto
sumn=1^infty1raizn^2+1
é divergente.

Passo 3

Analisando sumn=1^infty1nraizn^2+1:
para n>=1 temos
n^2+1>= n^2 Longrightarrow raizn^2+1>= n Longrightarrow 1nraizn^2+1<=1n^2
Como sum1/n^2 é convergente ( p=2), uma série menor ou igual a uma convergente também converge. Portanto
sumn=1^infty1nraizn^2+1
é convergente.

Resposta

(a) A série diverge.
(b) A série converge.

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