Questão 1: (2 pontos)

Seja y=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1\end{array}\right] e u=\left[\begin{array}{l}8 \\\\ 6\end{array}\right]. Calcule a distância de y à reta contendo u e a origem. Use os conceitos de projeção ortogonal vistos nesta disciplina.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Vetor \displaystyle y=\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
  • Vetor \displaystyle u=\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\end{pmatrix}.
  • A reta em questão é a reta que passa pela origem e por u, isto é, a reta \{t\,u \mid t\in\mathbb{R}\}.
  • O que se pede: calcular a distância de y até essa reta (distância ponto–reta).]

Passo 2

Ideia da solução (explicação didática do conceito usado): a distância de um ponto y à reta gerada por u é o comprimento da componente de y que é ortogonal a u. Para obter essa componente ortogonal fazemos a projeção ortogonal de y sobre u e subtraímos essa projeção de y.
Vou agora explicar a fórmula da projeção ortogonal de forma bem clara (passo a passo): suponha que queremos escrever a projeção de y sobre a direção de u como um múltiplo escalar de u,
\operatorname{proj}_u(y)=\alpha\,u.
A condição de projeção ortogonal é que o vetor erro y-\alpha u seja ortogonal a u. Ser ortogonal significa que o produto interno (produto escalar) dá zero:
(y-\alpha u)\cdot u=0.
Desenvolvendo,
y\cdot u-\alpha\,u\cdot u=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{y\cdot u}{u\cdot u}.
Portanto a fórmula prática é
\operatorname{proj}_u(y)=\frac{y\cdot u}{u\cdot u}\,u.
O produto escalar entre dois vetores \displaystyle a=\begin{pmatrix}a_1\a_2\end{pmatrix} e \displaystyle b=\begin{pmatrix}b_1\b_2\end{pmatrix} é
a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2.
E a norma (comprimento) de um vetor v é \|v\|=\sqrt{v\cdot v}. A distância buscada será \|y-\operatorname{proj}_u(y)\|.

Passo 3

Calculemos os produtos escalares necessários.
Primeiro
y\cdot u = \begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\end{pmatrix}=3\cdot8+1\cdot6=24+6=30.
Segundo
u\cdot u = \begin{pmatrix}8\\[4pt]6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\end{pmatrix}=8^2+6^2=64+36=100.
Logo o coeficiente escalar da projeção é
\alpha=\frac{y\cdot u}{u\cdot u}=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}.]

Passo 4

Calculemos explicitamente a projeção:
\operatorname{proj}_u(y)=\alpha\,u=\frac{3}{10}\begin{pmatrix}8\\[4pt]6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{10}\cdot8\\[6pt]\dfrac{3}{10}\cdot6\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{24}{10}\\[6pt]\dfrac{18}{10}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{12}{5}\\[6pt]\dfrac{9}{5}\end{pmatrix}.
(Se preferir em decimal: \operatorname{proj}_u(y)=\begin{pmatrix}2{,}4\\[4pt]1{,}8\end{pmatrix}.)]

Passo 5

Agora obtemos a componente ortogonal subtraindo a projeção de y:
y-\operatorname{proj}_u(y) =\begin{pmatrix}3\\[4pt]1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\dfrac{12}{5}\\[6pt]\dfrac{9}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3-\dfrac{12}{5}\\[6pt]1-\dfrac{9}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{15}{5}-\dfrac{12}{5}\\[6pt]\dfrac{5}{5}-\dfrac{9}{5}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{5}\\[6pt]-\dfrac{4}{5}\end{pmatrix}.
Esse vetor é exatamente a distância dirigida de y até a reta (no sentido ortogonal); a distância numérica é o comprimento desse vetor.]

Passo 6

Calculemos a norma do vetor ortogonal:
\|y-\operatorname{proj}_u(y)\| =\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{5}\right)^2} =\sqrt{\dfrac{9}{25}+\dfrac{16}{25}} =\sqrt{\dfrac{25}{25}} =\sqrt{1}=1.
Portanto a distância de y à reta gerada por u é 1.

Resposta

1

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