Seja y=\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 1\end{array}\right] e u=\left[\begin{array}{l}8 \\\\ 6\end{array}\right]. Calcule a distância de y à reta contendo u e a origem. Use os conceitos de projeção ortogonal vistos nesta disciplina.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
A reta em questão é a reta que passa pela origem e por u, isto é, a reta \{t\,u \mid t\in\mathbb{R}\}.
O que se pede: calcular a distância de y até essa reta (distância ponto–reta).]
Passo 2
Ideia da solução (explicação didática do conceito usado): a distância de um ponto y à reta gerada por u é o comprimento da componente de y que é ortogonal a u. Para obter essa componente ortogonal fazemos a projeção ortogonal de y sobre u e subtraímos essa projeção de y.
Vou agora explicar a fórmula da projeção ortogonal de forma bem clara (passo a passo): suponha que queremos escrever a projeção de y sobre a direção de u como um múltiplo escalar de u,
\operatorname{proj}_u(y)=\alpha\,u.
A condição de projeção ortogonal é que o vetor erro y-\alpha u seja ortogonal a u. Ser ortogonal significa que o produto interno (produto escalar) dá zero: