Exercício 7. Para k constante, encontre a solução de
l2 y^prime prime(t)+8 y(t)=k h(t-a) y(0)=10, y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
2 y''(t) + 8 y(t) = k h(t-a) y(0) = 10, y'(0) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando há funções como o degrau de Heaviside .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
y''(t) + 4 y(t) = k2 h(t-a)
Isso fica mais fácil de trabalhar e mantém a equação na forma padrão para aplicar a Transformada de Laplace.

Passo 3

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A Transformada de s^2 Y(s) - s cdot 10 - 0 + 4 Y(s) = k2 cdot e^-a ss é
  • A Transformada de é
  • A Transformada de é
Aplicando isso:

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para resolver (s^2 + 4) Y(s) - 10 s = k2 cdot e^-a ss :
Y(s) = 10 ss^2 + 4 + k e^-a s2 s (s^2 + 4)
Isolando :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter L^-1ss^2 + omega^2 = cos(omega t) . Vamos dividir em duas partes:
  1. L^-110 ss^2 + 4 = 10 cos(2 t)
Para a primeira parte, sabemos que:
Aqui, , então:

Passo 6

Para a segunda parte, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamentos no tempo:
L^-1e^-a s F(s) = f(t - a) h(t - a)
Aqui, L^-1k2 s (s^2 + 4) = k2 cdot ( 1 - cos(2 t)4 ) = k8 (1 - cos(2 t)) . Vamos encontrar L^-1k e^-a s2 s (s^2 + 4) = k8 (1 - cos(2 (t - a))) h(t - a) :
Aplicando o deslocamento:

Passo 7

Finalmente, somamos as duas partes para obter a solução completa:
y(t) = 10 cos(2 t) + k8 (1 - cos(2 (t - a))) h(t - a)

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = 10 cos(2 t) + k8 (1 - cos(2 (t - a))) h(t - a)

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