Exercício 7. Para
constante, encontre a solução de
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação. Para resolver, vamos utilizar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando há funções como o degrau de Heaviside
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Isso fica mais fácil de trabalhar e mantém a equação na forma padrão para aplicar a Transformada de Laplace.
Passo 3
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
- A Transformada de
é - A Transformada de
é - A Transformada de
é
Aplicando isso:
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para resolver
:
Isolando
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a Transformada Inversa de Laplace para obter
. Vamos dividir em duas partes:
Para a primeira parte, sabemos que:
Aqui,
, então:
Passo 6
Para a segunda parte, usamos a propriedade da Transformada de Laplace que lida com deslocamentos no tempo:
Aqui,
. Vamos encontrar
:
Aplicando o deslocamento:
Passo 7
Finalmente, somamos as duas partes para obter a solução completa:
Resposta
A solução da equação diferencial é: