Resolver as eq. diferenciais abaixo:
raizx d y+y^4y-8 d x=0 y=y(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é raizx , dy + y^4y-8 , dx = 0, onde y é função de x. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar reorganizar a equação para separar as variáveis y e x em lados diferentes da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais amigável. Podemos isolar dydx assim:
raizx dydx + y^4y-8 = 0
Então, subtraindo y^4y-8 de ambos os lados:
raizx dydx = -y^4y-8
E dividindo pelos termos que não envolvem dy:
dydx = -y^4(y-8) raizx

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis y e x. Isso significa colocar todas as expressões com y de um lado e as com x do outro. Multiplicando ambos os lados por (y-8)/y^4 e por dx, temos:
y-8y^4 , dy = -1raizx , dx

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo, que envolve y:
integral y-8y^4 , dy = integral ( 1y^3 - 8y^4 ) , dy
Integrando termo a termo:
integral 1y^3 , dy = -12 y^2
integral 8y^4 , dy = -83 y^3
Então, o lado esquerdo fica:
-12 y^2 - 83 y^3 + C1

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito, que envolve x:
integral -1raizx , dx = integral -x^-1/2 , dx = -2 raizx + C2

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
-12 y^2 - 83 y^3 = -2 raizx + C
Onde C representa a constante geral de integração combinando C1 e C2.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
-12 y^2 - 83 y^3 = -2 raizx + C,
onde C é uma constante de integração.

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