Resolver as eq. diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é
, onde
é função de
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis. Vamos precisar reorganizar a equação para separar as variáveis
e
em lados diferentes da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma mais amigável. Podemos isolar
assim:
Então, subtraindo
de ambos os lados:
E dividindo pelos termos que não envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. Isso significa colocar todas as expressões com
de um lado e as com
do outro. Multiplicando ambos os lados por
e por
, temos:
Passo 4
Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados. Vamos começar com o lado esquerdo, que envolve
:
Integrando termo a termo:
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito, que envolve
:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Onde
representa a constante geral de integração combinando
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante de integração.