Questão A.1: (1.5 pontos) Encontre a derivada das seguintes funções:
(b) g(x)=x cdot sen(x)e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
g(x)=x,sin(x)e^2x
Aqui vamos usar a regra do quociente e as derivadas de funções trigonométricas e exponenciais.

Passo 2

Definimos as funções do quociente:
u(x)=x,sin(x), v(x)=e^2x
Calculamos as derivadas:
u'(x)=sin(x)+xcos(x), v'(x)=2e^2x

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
g'(x)=nu'(x)v(x)-nu(x)v'(x)[v(x)]^2 =(sin(x)+xcos(x))e^2x-xsin(x)cdot2e^2x(e^2x)^2

Passo 4

Simplificamos o resultado: fatoramos e^2x no numerador e cancelamos com parte do denominador, obtendo
g'(x)=sin(x)+xcos(x)-2xsin(x)e^2x =sin(x)(1-2x)+xcos(x)e^2x

Resposta

g'(x)=sin(x)(1-2x)+xcos(x)e^2x

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