Questão A.1: (1.5 pontos) Encontre a derivada das seguintes funções:
(a) f(x)=ln (x) cdot cos (x^4+x);

Passo 1

Neste exercício vamos encontrar a derivada da função f(x) = ln(x) · cos(x^4 + x). O conteúdo envolve regra do produto e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Identificamos as funções u(x) = ln(x) e v(x) = cos(x^4 + x). Pela regra do produto, a derivada é f’(x) = u’(x) · v(x) + u(x) · v’(x).

Passo 3

Calculamos u’(x). Como u(x) = ln(x), temos u’(x) = 1/x.

Passo 4

Para calcular v’(x), notamos que v(x) = cos(g(x)) com g(x) = x^4 + x. Pela regra da cadeia, v’(x) = -sin(g(x)) · g’(x). Como g’(x) = 4x^3 + 1, obtemos v’(x) = - (4x^3 + 1) sin(x^4 + x).

Passo 5

Substituindo u’(x), v(x), u(x) e v’(x) na fórmula da regra do produto e simplificando, obtemos:
f'(x) = cos(x^4 + x)x - (4x^3 + 1)ln(x)sin(x^4 + x)

Resposta

f’(x) = \frac{\cos(x^4 + x)}{x} - (4x^3 + 1)\ln(x)\sin(x^4 + x)

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