5^a Questão: (1,0 pontos) Encontre uma função potencial para a função
F(x, y)=(2 x y^2-y^3, 2 x^2 y-3 x y^2+2)
R: f(x, y)=x^2 y^2-x y^3+2 y

Passo 1

O enunciado pede uma função potencial f(x,y) para o campo vetorial
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)=(2xy^2 - y^3,;2x^2y -3xy^2 +2),
ou seja, queremos f tal que
partial fpartial x=Pepartial fpartial y=Q
Para isso, primeiro verificamos se F é conservativo e depois integramos as componentes.

Passo 2

Teste de conservatividade: calcular
partial Ppartial y =partialpartial y(2xy^2 - y^3) =4xy -3y^2,
partial Qpartial x =partialpartial x(2x^2y -3xy^2 +2) =4xy -3y^2
Como partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo R^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Integramos
partial fpartial x=P(x,y)=2xy^2 - y^3
em relação a x, tratando y como constante:
f(x,y)=integral(2xy^2 - y^3),dx =x^2y^2 - x,y^3 + h(y),
onde h(y) é função de y só.

Passo 4

Determinar h(y) impondo
partial fpartial y =2x^2y -3xy^2 + h'(y) stackrel!=Q(x,y)=2x^2y -3xy^2 +2
Daí h'(y)=2, logo
h(y)=2y + C
Tomando C=0 (potencial definido a uma constante), obtemos
f(x,y)=x^2y^2 - xy^3 +2y

Resposta

f(x,y)=x^2y^2 - x y^3 + 2y

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