Questão 1) ( 2,5 pontos) Use derivação implicita para achar a equação da reta tangente à elipse
, no ponto
.
Passo 1
O enunciado fornece a curva definida pela equação
e o ponto
que pertence a essa curva. A tarefa é achar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. As informações relevantes são:
- A equação implícita da curva:
. - O ponto onde queremos a tangente:
. - O resultado final pedido: a equação da reta tangente passando por
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): quando uma curva está dada por uma equação envolvendo
e
misturados, como
, muitas vezes não dá para isolar
explicitamente. Ainda assim podemos achar a inclinação da reta tangente usando a ideia de derivada como taxa de variação:
representa a inclinação da tangente.
Para obter diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função dependente de
. Ao diferenciar termos que envolvem
aplicamos a regra da cadeia: se
, então a derivada de
em relação a
é
.
Também precisaremos da regra do produto: se temos um produto , então a derivada é
. Vou aplicar essas regras passo a passo.
Para obter
Também precisaremos da regra do produto: se temos um produto
Passo 3
Vamos diferenciar term a term a equação
em relação a
.
- Derivada de
em relação a é . Aqui é a variável independente, então usamos a regra normal de potência. - Derivada de
: trata-se de um produto entre e . Aplicando a regra do produto,
- Derivada de
: aplicando a regra da cadeia, .
Do lado direito, a derivada de
é
.
Portanto, diferenciando tudo:
Passo 4
Agora vamos organizar a expressão para isolar
. Reunindo os termos com
:
Colocando os termos com
juntos:
Isolando
:
Finalmente,
Comentário didático: essa fórmula dá a inclinação da tangente em qualquer ponto
da curva (desde que
). Note que usamos álgebra simples para agrupar termos e dividir.
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto dado
. Substituímos
e
na expressão de
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Logo
Interpretação: a inclinação da reta tangente à curva no ponto
é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
,
e
:
Agora simplifico para a forma mais usual:
Passo 7
Verificação rápida: se
então
, portanto a reta realmente passa por
. A inclinação
confere com a derivada que calculamos. Tudo consistente.