Questão 1) ( 2,5 pontos) Use derivação implicita para achar a equação da reta tangente à elipse x^{2}+x y+y^{2}=3, no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado fornece a curva definida pela equação x^{2}+x y+y^{2}=3
e o ponto (2,2) que pertence a essa curva. A tarefa é achar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. As informações relevantes são:
  • A equação implícita da curva: \;x^{2}+x y+y^{2}=3.
  • O ponto onde queremos a tangente: \;(2,2).
  • O resultado final pedido: a equação da reta tangente passando por (2,2).

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): quando uma curva está dada por uma equação envolvendo x e y misturados, como \;x^{2}+x y+y^{2}=3, muitas vezes não dá para isolar y explicitamente. Ainda assim podemos achar a inclinação da reta tangente usando a ideia de derivada como taxa de variação: \;y'=\dfrac{dy}{dx} representa a inclinação da tangente.
Para obter y' diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função dependente de x. Ao diferenciar termos que envolvem y aplicamos a regra da cadeia: se y=y(x), então a derivada de \;y^{2} em relação a x é \;2y\cdot y'.
Também precisaremos da regra do produto: se temos um produto u(x)\,v(x), então a derivada é \;(u v)' = u'v + u v'. Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Vamos diferenciar term a term a equação \;x^{2}+x y+y^{2}=3 em relação a x.
  • Derivada de \;x^{2} em relação a x é \;2x. Aqui x é a variável independente, então usamos a regra normal de potência.
  • Derivada de \;x y: trata-se de um produto entre x e y(x). Aplicando a regra do produto,
\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot \frac{d}{dx}(y) = 1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
  • Derivada de \;y^{2}: aplicando a regra da cadeia, \frac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y'.
Do lado direito, a derivada de \;3 é \;0.
Portanto, diferenciando tudo:
2x + (y + x y') + 2y\,y' = 0.

Passo 4

Agora vamos organizar a expressão para isolar y'. Reunindo os termos com y':
2x + y + x y' + 2y\,y' = 0.
Colocando os termos com y' juntos:
2x + y + y'(x + 2y) = 0.
Isolando y'(x+2y):
y'(x+2y) = - (2x + y).
Finalmente,
y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.
Comentário didático: essa fórmula dá a inclinação da tangente em qualquer ponto (x,y) da curva (desde que x+2y\neq 0). Note que usamos álgebra simples para agrupar termos e dividir.

Passo 5

Agora avaliamos y' no ponto dado (2,2). Substituímos x=2 e y=2 na expressão de y':
  • Numerador: -(2x + y) = -(2\cdot 2 + 2) = -(4 + 2) = -6.
  • Denominador: x + 2y = 2 + 2\cdot 2 = 2 + 4 = 6.
Logo
y'(2,2)= -\frac{6}{6} = -1.
Interpretação: a inclinação da reta tangente à curva no ponto (2,2) é -1.

Passo 6

Com a inclinação m=-1 e o ponto (2,2), usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta:
y - y_{0} = m(x - x_{0}).
Substituindo x_{0}=2, y_{0}=2 e m=-1:
y - 2 = -1\cdot (x - 2).
Agora simplifico para a forma mais usual:
y - 2 = -x + 2 \quad\Rightarrow\quad y = -x + 4.

Passo 7

Verificação rápida: se x=2 então y=-2+4=2, portanto a reta realmente passa por (2,2). A inclinação -1 confere com a derivada que calculamos. Tudo consistente.

Resposta

y=-x+4

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