Questão 5. (2,0 pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 t e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 2y' - 3y = -3\,t\,e^{-t}.
O conteúdo envolve dois passos principais: primeiro achar a solução do homogêneo pela equação característica; depois usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular.

Passo 2

Para o homogêneo associado
y'' - 2y' - 3y = 0
escrevemos a equação característica
r^2 - 2r - 3 = 0.
Resolvendo, vem
r = 3 \quad\text{ou}\quad r = -1.
Logo a solução geral do homogêneo é
y_h(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t}.

Passo 3

O termo não homogêneo é -3\,t\,e^{-t}. Como e^{-t} corresponde à raiz r=-1 da característica (multiplicidade 1) e aparece multiplicado por um polinômio de grau 1 t, propomos um ansatz
y_p(t) = (A t^2 + B t)\,e^{-t},
isto é, elevamos em um grau o polinômio e multiplicamos por t para “vencer” a ressonância.

Passo 4

Calculemos as derivadas de
y_p = u(t)e^{-t},\quad u(t)=A t^2 + B t.
Temos
y_p' = \bigl(u'(t)-u(t)\bigr)e^{-t} = \bigl(2A t + B - A t^2 - B t\bigr)e^{-t},
y_p'' = \Bigl(\bigl(2A t + B\bigr)' - (2A t + B) - (u'(t)-u(t))\Bigr)e^{-t} = \bigl(A t^2 + (B-4A)t + (2A-2B)\bigr)e^{-t}.
Substituindo em y''-2y'-3y e tirando o fator e^{-t}, obtemos um polinômio em t:
y_p'' -2y_p' -3y_p = \bigl(-8A\,t + (2A-4B)\bigr)e^{-t}.

Passo 5

Para que isso seja igual a -3\,t\,e^{-t}, igualamos coeficientes de t e termo independente:
-8A = -3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{8},
2A - 4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \tfrac{2A}{4} = \tfrac{3}{16}.
Logo a solução particular é
y_p(t) = \Bigl(\tfrac{3}{8}\,t^2 + \tfrac{3}{16}\,t\Bigr)e^{-t}.

Passo 6

Juntando as duas partes, a solução geral da equação original é
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} + \Bigl(\tfrac{3}{8}\,t^2 + \tfrac{3}{16}\,t\Bigr)e^{-t}.

Resposta

y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t} + \Bigl(\tfrac{3}{8}\,t^2 + \tfrac{3}{16}\,t\Bigr)e^{-t}.

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