Questão 5. (2,0 pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolve dois passos principais: primeiro achar a solução do homogêneo pela equação característica; depois usar o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular.
Passo 2
Para o homogêneo associado
escrevemos a equação característica
Resolvendo, vem
Logo a solução geral do homogêneo é
Passo 3
O termo não homogêneo é
. Como
corresponde à raiz
da característica (multiplicidade 1) e aparece multiplicado por um polinômio de grau 1
, propomos um ansatz
isto é, elevamos em um grau o polinômio e multiplicamos por
para “vencer” a ressonância.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
Temos
Substituindo em
e tirando o fator
, obtemos um polinômio em
:
Passo 5
Para que isso seja igual a
, igualamos coeficientes de
e termo independente:
Logo a solução particular é
Passo 6
Juntando as duas partes, a solução geral da equação original é