Questão 6. (Extra 2,0 pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{tg}(x), \quad 0<x<\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + y = \tan(x),\quad 0<x<\tfrac{\pi}{2}.
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois um particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0.
A equação característica é r^2 + 1=0, cujas raízes são r=\pm i. Logo, a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(x)+C_2\sin(x),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para obter uma solução particular y_p de
y'' + y = \tan(x),
usamos variação de parâmetros com as bases y_1(x)=\cos(x) e y_2(x)=\sin(x). O Wronskiano é
W=\begin{vmatrix} \cos(x) & \sin(x)\\\\ -\sin(x) & \cos(x) \end{vmatrix} =\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.
As fórmulas de variação de parâmetros dizem:
y_p(x)=-y_1(x)\int \frac{y_2(x)\,\tan(x)}{W}\,dx +y_2(x)\int \frac{y_1(x)\,\tan(x)}{W}\,dx.

Passo 4

Calculamos as duas integrais
  1. I_1=\displaystyle\int y_1(x)\,\tan(x)\,dx=\int \cos(x)\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx=\int \sin(x)\,dx=-\cos(x).
  2. I_2=\displaystyle\int y_2(x)\,\tan(x)\,dx=\int \sin(x)\,\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx =\int \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}\,dx.
    Note que
\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} =\frac{1-\cos^2(x)}{\cos(x)} =\operatorname{sec}(x)-\cos(x).
Logo
I_2=\int \operatorname{sec}(x)\,dx-\int \cos(x)\,dx =\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| - \sin(x).

Passo 5

Substituindo em
y_p(x)=-\cos(x)\,I_2 + \sin(x)\,I_1
temos
y_p(x) =-\cos(x)\Bigl[\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr| - \sin(x)\Bigr] +\sin(x)\bigl[-\cos(x)\bigr].
Distributindo e somando termos semelhantes, os termos em \sin(x)\cos(x) se cancelam, restando
y_p(x)=-\cos(x)\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.

Passo 6

A solução geral da equação não homogênea é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =C_1\cos(x)+C_2\sin(x)\;-\;\cos(x)\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.

Resposta

y(x)=C_1\cos(x)+C_2\sin(x)\;-\;\cos(x)\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(x)+\tan(x)\bigr|.

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