Questão 4. (1.0) Calcule
\int_{-\pi}^{\pi} x^{5} \cos \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-\pi}^{\pi} x^{5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a paridade de funções e a propriedade de integrais definidas em intervalos simétricos.

Passo 2

Observe que a parte x^{5} é uma função ímpar (pois ( -x )^{5} = -\,x^{5}) e \cos\bigl(x^{2}\bigr) é uma função par (pois \cos\bigl((-x)^{2}\bigr)=\cos(x^{2})). O produto de uma função ímpar por uma função par é ímpar, pois
f(-x)=(-x)^{5}\cos\bigl((-x)^{2}\bigr)=-\,x^{5}\cos\bigl(x^{2}\bigr)=-f(x).

Passo 3

Como f(x)=x^{5}\cos(x^{2}) é ímpar e o intervalo de integração [-\,\pi,\pi] é simétrico em torno de zero, vale a propriedade
\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0
para qualquer função ímpar f. Portanto,

Resposta

0

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