O trabalho consiste em apresentar a solução das seguintes equações diferenciais ordinárias separáveis.
d yd x=3 y^2, y(0)=12.

Passo 1

A equação diferencial que temos é dydx=3y^2 com condição inicial y(0)=tfrac12. Isso é um caso clássico de equação separável, onde podemos colocar todos os y de um lado e os x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis:
dyy^2=3,dx

Passo 3

Agora aplicamos as integrais em cada lado. Lembrando que integral y^-2dy=integral y^n dy=y^n+1n+1 para nneq -1. Então
integral y^-2dy=integral 3,dxRightarrow -1y=3x+C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=tfrac12 para achar C. Quando x=0 e y=1/2:
-1tfrac12=CRightarrow C=-2

Passo 5

Substituindo C na solução geral e isolando y:
-1y=3x-2Rightarrow y=-13x-2=12-3x

Resposta

y(x)=12-3x

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