A vazão de água de uma represa é modelada por
f(x)=10(x-6)^2+1
se 0 <= x <= 12 e onde x é o tempo em meses. Determine o instante x quando a vazāo foi máxima.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem uma função que descreve a vazão de água de uma represa ao longo do tempo, representada por
f(x) = 10(x - 6)^2 + 1
onde $ x $ é o tempo em meses, e estamos considerando $ 0 \leq x \leq 12 $. Nosso objetivo aqui é descobrir em qual instante $ x $ a vazão de água foi a máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto onde a função $ f(x) $ atinge seu máximo, vamos calcular a derivada dessa função em relação a $ x $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Se a derivada for zero em algum ponto, isso indica que a função pode ter um máximo ou mínimo ali.
A função que temos é:
f(x)
Para derivar essa função, podemos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos aplicar a regra da cadeia aqui.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
f(x)
Vamos derivar o que está dentro do parênteses:
x
Agora, aplicando a regra da cadeia:
f'(x) = ddx ( 10(x - 6)^2 + 1 ) = 10 cdot ddx ( (x - 6)^2 + 1 )^-1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
f'(x)
Para que isso seja igual a zero, o numerador deve ser zero:
f'(x) = -20(x - 6)( (x - 6)^2 + 1 )^-2 = 0
Então, o único ponto crítico é $ x = 6 $.

Passo 5

Para confirmar que $ x = 6 $ é realmente um ponto de máximo, podemos analisar o comportamento da derivada em torno desse ponto ou simplesmente observar a forma da função. A função $ f(x) $ tem um denominador que aumenta à medida que nos afastamos de $ x = 6 $, o que faz com que $ f(x) $ diminua. Portanto, $ x = 6 $ é o ponto onde a vazão é máxima.

Resposta

A vazão de água foi máxima no instante $ x = 6 $ meses.

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