A vazão de água de uma represa é modelada por
se
e onde
é o tempo em meses. Determine o instante
quando a vazāo foi máxima.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você enviou. A gente tem uma função que descreve a vazão de água de uma represa ao longo do tempo, representada por
onde $ x $ é o tempo em meses, e estamos considerando $ 0 \leq x \leq 12 $. Nosso objetivo aqui é descobrir em qual instante $ x $ a vazão de água foi a máxima. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a função atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto onde a função $ f(x) $ atinge seu máximo, vamos calcular a derivada dessa função em relação a $ x $. A derivada nos mostra a taxa de variação da função, ou seja, como $ f(x) $ muda quando $ x $ muda. Se a derivada for zero em algum ponto, isso indica que a função pode ter um máximo ou mínimo ali.
A função que temos é:
Para derivar essa função, podemos usar a regra do quociente ou a regra da cadeia. Vamos aplicar a regra da cadeia aqui.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ f(x) $ em relação a $ x $ é:
Vamos derivar o que está dentro do parênteses:
Agora, aplicando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar onde a derivada $ f’(x) $ é igual a zero, pois esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos.
Para que isso seja igual a zero, o numerador deve ser zero:
Então, o único ponto crítico é $ x = 6 $.
Passo 5
Para confirmar que $ x = 6 $ é realmente um ponto de máximo, podemos analisar o comportamento da derivada em torno desse ponto ou simplesmente observar a forma da função. A função $ f(x) $ tem um denominador que aumenta à medida que nos afastamos de $ x = 6 $, o que faz com que $ f(x) $ diminua. Portanto, $ x = 6 $ é o ponto onde a vazão é máxima.
Resposta
A vazão de água foi máxima no instante $ x = 6 $ meses.