1^ a Questão (4 pontos)

A equação diferencial que descreve o movimento de um fluido entre duas placas, quando a placa superior é subitamente deslocada a uma velocidade U, tem a seguinte forma:
partial upartial t=v partial^2 upartial y^2
em que u representa a velocidade na direção x, t o tempo, v a viscosidade cinemática e y a distância vertical medida a partir da face superior da placa inferior. Escreva esta equação na forma adimensional usando a velocidade característica U, o comprimento h e o tempo expresso pela razão h^2 / v. Identifique os parâmetros adimensionais resultantes.

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação de difusão unidimensional
partial upartial t = v,partial^2 upartial y^2,
onde
- é a velocidade em ,
- é o tempo,
- é a viscosidade cinemática,
- é a distância vertical.
O conteúdo é “adimensionalização de PDE” e vamos precisar:
  1. Escolher escalas características: para velocidade, para comprimento e para o tempo.
  2. Definir variáveis adimensionais e aplicar as regras de derivada (regra da cadeia).

Passo 2

Definimos as variáveis adimensionais:
u^* = uU, y^* = yh, t^* = ttc = v,th^2
Isso significa , e .

Passo 3

Agora reescrevemos as derivadas:
  1. Tempo:
partial upartial t = partial (U,u^*)partial l(tfrach^2vt^*r) = Uh^2/v,partial u^*partial t^* = U,vh^2,partial u^*partial t^*
  1. Espaço:
partial^2 upartial y^2 = partial^2 (U,u^*)partial (h,y^*)^2 = Uh^2,partial^2 u^*partial y^*2

Passo 4

Substituindo na equação original:
U,vh^2,partial u^*partial t^* = v,Uh^2,partial^2 u^*partial y^*2
Agora é só dividir ambos os lados por partial u^*partial t^* = partial^2 u^*partial y^*2 :

Resposta

A forma adimensional da equação é
boxedpartial u^*partial t^* ;=;partial^2 u^*partial y^*2
com as variáveis
u^* = uU, y^* = yh, t^* = v,th^2
O único “parâmetro adimensional” que aparece é , ou seja, não sobra nenhum número de Reynolds ou algo assim.

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