Questão 3. ( 2,0 pontos) Seja \Omega \subseteq \mathbb{R}^{3} o domiínio limitado por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 tal que 4 x^{2}+4 y^{2} \leq z^{2} e x, y, z>0. Determine
\iiint_{\Omega} x d x d y d z
(1,5 pontos ) Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integral:
\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede duas integrais triplas sobre regiões em \mathbb{R}^3 usando coordenadas esféricas. Primeiro, calcular
I_1 = \iiint_{\Omega} x \,dx\,dy\,dz
onde \Omega é o pedaço do interior da esfera x^2+y^2+z^2=4 com 4x^2+4y^2\le z^2 e x,y,z>0.
Depois, usar coordenadas esféricas para avaliar
I_2=\int_{0}^{\sqrt{2}}\int_{y}^{\sqrt{4-y^2}}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2-y^2}} \sqrt{x^2+y^2+z^2}\;dz\,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas esféricas, identificação dos limites em (r,\varphi,\theta) e cálculo de integrais em três variáveis.

Passo 2

Descrevemos \Omega em esféricas: x=r\sin\varphi\cos\theta, y=r\sin\varphi\sin\theta, z=r\cos\varphi,
Jacobian =r^2\sin\varphi.
As condições são
  1. r\le2 (interior da esfera),
  2. x,y,z>0 \implies \varphi\in[0,\tfrac\pi2], \theta\in[0,\tfrac\pi2],
  3. 4x^2+4y^2\le z^2 \iff 4r^2\sin^2\varphi\le r^2\cos^2\varphi \iff \tan^2\varphi\le\tfrac14 \iff \varphi\le\arctan\tfrac12.
    Logo
I_1 =\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{\varphi=0}^{\arctan(1/2)} \int_{r=0}^{2} \bigl(r\sin\varphi\cos\theta\bigr)\, r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calculamos I_1:
I_1 =\int_{0}^{\pi/2}\!\cos\theta\,d\theta \int_{0}^{\arctan(1/2)}\!\sin^2\varphi\,d\varphi \int_{0}^{2}r^3\,dr.
Aqui \int_0^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta=1 e \int_0^2r^3\,dr= \tfrac{2^4}{4}=4.
E
\int_{0}^{\arctan(1/2)}\sin^2\varphi\,d\varphi =\frac12\Bigl[\varphi-\sin\varphi\cos\varphi\Bigr]_{0}^{\arctan(1/2)} =\frac12\Bigl(\arctan\tfrac12-\tfrac{2}{5}\Bigr).
Multiplicando dá
I_1 =4\cdot1\cdot\frac12\Bigl(\arctan\tfrac12-\tfrac25\Bigr) =2\arctan\tfrac12-\frac{4}{5}.

Passo 4

Agora I_2. Note que \sqrt{x^2+y^2+z^2}=r, e a região dada por
0\le z\le\sqrt{4-x^2-y^2},\quad y\in[0,\sqrt2],\quad x\in[y,\sqrt{4-y^2}],
é exatamente o setor da metade superior da esfera r\le2 no primeiro quadrante do plano xy, com x\ge y. Em coordenadas esféricas isso é
r\in[0,2],\quad \varphi\in[0,\tfrac\pi2],\quad \theta\in[0,\tfrac\pi4].
Assim
I_2 =\int_{\theta=0}^{\pi/4}\! \int_{\varphi=0}^{\pi/2}\! \int_{r=0}^{2} r\;\bigl(r^2\sin\varphi\bigr)\,dr\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{\pi/4}\!d\theta \int_{0}^{\pi/2}\!\sin\varphi\,d\varphi \int_{0}^{2}\!r^3\,dr.

Passo 5

Compute I_2: \displaystyle\int_{0}^{2}r^3\,dr=4, \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=1, \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}.
Multiplicando,
I_2 =4\cdot1\cdot\frac{\pi}{4} =\pi.

Resposta

I_1=2\arctan\tfrac12-\tfrac{4}{5},\quad I_2=\pi.

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