Questão 3. ( 2,0 pontos) Seja
o domiínio limitado por
tal que
e
. Determine
(1,5 pontos ) Use coordenadas esféricas e calcule as seguintes integral:
Passo 1
O enunciado pede duas integrais triplas sobre regiões em
usando coordenadas esféricas. Primeiro, calcular
onde
é o pedaço do interior da esfera
com
e
.
Depois, usar coordenadas esféricas para avaliar
Depois, usar coordenadas esféricas para avaliar
O conteúdo envolvido é mudança para coordenadas esféricas, identificação dos limites em
e cálculo de integrais em três variáveis.
Passo 2
Descrevemos
em esféricas:
,
,
,
Jacobian .
As condições são
Jacobian
As condições são
-
(interior da esfera), -
, , -
.
Logo
Passo 3
Calculamos
:
Aqui
e
E
E
Multiplicando dá
Passo 4
Agora
. Note que
, e a região dada por
é exatamente o setor da metade superior da esfera
no primeiro quadrante do plano
, com
. Em coordenadas esféricas isso é
Assim
Passo 5
Compute
:
,
,
.
Multiplicando,
Multiplicando,